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Analisi. — Sulla media dei valori che una funzione dei punti 

 dello spazio assume alla superficie di una sfera. Nota del Corri- 

 spondente P. Pizzetti. 



1. Sia Y(x ,y,s) una funzione Anita, a un sol valore, in tutti i punti 

 dello spazio limitato da una sfera di centro 0 e raggio R, la quale am- 

 metta, entro questo stesso spazio, le derivate parziali finite ed integrabili 

 fino alle (2n) m * incluse. Si indichi con J tn il risultato della operazione 



V _._ V , V 



ripetuta n volte. Vogliamo dimostrare che: la media dei valori che la V 

 assume sulla sfera si può esprimere colla formola 



M = Vo + fi ( ^ V)o + fi ( ^ V)o + ••• + 



^ JJ2W-2 g2n 



+ (2« — 1)! ^ 2 "- 2V )«> + (2» + l)! {JìnY)m ' 



rfoye l'indice 0 s& riferisce al centro 0 ote^a sfera, e cow (^2nV) m 

 tórcote %w valore compreso fra il massimo e il minimo di quelli che 4 2 nV 

 assume nello spazio sferico considerato. 



2. Per comodità di dimostrazione assumiamo la notazione seguente. 

 Indichiamo con Ij . <p(R) il risultato della operazione 



eseguita sulla funzione y(r) (supposta integrabile) ; con I 2 . <p(R) il risultato 

 della stessa operazione eseguita sulla Ij . <p{r) ; ossia 



I 2 . 5p(R) =£ (r - 0 1, . xp{r) . dr; 



e generalmente con I n .<p(R) il risultato della operazione (1) ripetuta n volte. 

 Se la (p si riduce ad una costante c , si verifica facilmente che : 



