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e sostituendo in (5) tenuto conto delle (2) : 



(6) M = V 0 + || (J 2 Y) 0 + 1 2 . M 4 (R) . 



E proseguendo 



M = V 0 + S (J 2 Y) 0 + ^ (^ 4 V) 0 + • • ■ + 



(7) 



+ (2« — 1)1 (^ 8 "- 2V )° + T " • *M R ) • 



Infatti, in forza della (6), la (7) è vera per n = 2. Se poi osserviamo 

 ehe, per la (5) 



M 2n (R) = (z/ 8n V) 0 + li • M 2 „ +2 (R), 

 sarà, tenuto conto delle (2) 



I w . M 8n (R) = (2 ^ 1); (J 2n Y) 0 + I n+1 . M 2>i+2 (RÌ , 



con che la (7), supposta verificata per un certo valore di n, resta pure 

 soddisfatta cangiandovi n in n-\-l. 



La (3) poi applicata all'ultimo termine della (7) conduce sabito alla 

 forinola (1) che si voleva dimostrare, giacché un valore scelto fra quelli 

 che M 2n (r) assume sulle sfere di centro 0 e di raggio r compreso fra 0 

 ed R, deve necessariamente esser compreso fra il massimo e il minimo di 

 ^/ 2 „V entro lo spazio sferico considerato. 



3. Nel caso in cui uno dei J 2n si annulli in ogni punto, il numero 

 dei termini nel 2° membro della (A) risulta limitato, e la forinola stessa 

 comprende, come caso particolare, il noto teorema di Gauss sul valor medio 

 di una funzione armonica alla superficie di una sfera. 



Se nessuno dei J 2n si annulla identicamente, la (A) prolungata inde- 

 finitamente dà luogo ad una serie la quale sarà certamente convergente se 

 le derivate di un ordine qualunque si mantengono inferiori a un limite 

 finito L. Infatti in tal caso 



|^ 2 «V|<3".L. 



Per dedurre dalla (A) come caso particolare lo sviluppo di Maclaurin, 

 basta supporre V funzione della sola distanza r da 0, e propriamente porre 



V = g>(t) , t = r 2 = x 1 + ìf + *» . 



Si ha allora, come non è difficile verificare: 



K„V); =0 = 2" . 3 . 5 ... (2» — 1) (2n + 1) g> (n >(0) , 



