— 212 — 



L'enunciato problema di equivalenza si riduce pertanto alla ricerca di 

 tutti i corpi di attrazione nulla, interni o, almeno, non esterni alla super- 

 ficie S . Potremo dire che la densità di un corpo C equivalente a un dato 

 corpo C , è, in ogni punto, la somma algebrica della densità k di C, in quel 

 punto, e di quella h di un corpo di attrazione nulla, sempre nello stesso 

 punto. Ma, naturalmente, tra gli infiniti corpi di attrazione nulla che con- 

 vengono ad un dato spazio % , si avranno a considerare, per la realtà fisica 

 della soluzione, soltanto quelli pei quali la detta somma algebrica risulta non 

 minore di zero. Basterà per questo che, detto k m il valor minimo della den- 

 sità nel corpo C ed h m il minimo (algebrico) di h, aia — h m <^k m , o, più 

 semplicemente, che il valore assoluto di h non superi un certo limite. 



2. Assunto, entro lo spazio t chiuso dalla superfìcie S , un punto 0 come 

 origine di coordinate, e indicate con q e con q' le distanze rispettive di 0 

 dall'elemento dt e da un punto P esterno ad S , e con r la distanza di P 

 da dr , avremo col noto sviluppo 



(2) J^A^JV.*,,.*.*, 



purché si supponga il punto P abbastanza lontano perchè sia sempre q < q'. 

 È qui indicato con P„ il polinomio di ordine n di Legendre, che ha per ar- 

 gomento il coseno dell'angolo fra i due raggi vettori q,q'. Affinchè la (2) 

 si annulli per ogni punto esterno P, è necessario e sufficiente che sia, per ogni 

 valore intero e positivo di n, 



(3) Jq n .? n .h.dr= 0. 



Posto in questa successivamente n = 0 , 1 , 2 , si deducono in modo ovvio 

 dalle (3) i risultati seguenti : 



I 



J~ x . y . h . dr == 0 , ^ (x 2 — y l ) h . dz = 0 



e le altre sei relazioni che, con rotazione delle lettere x ,y , z , si deducono 

 dalle tre ultime. 



Sostituendo per h la differenza k' — k fra le densità dei due corpi equi- 

 valenti C , (7, queste relazioni possono enunciarsi così : 



a) Le masse dei due corpi sono eguali (il che era del resto evidente 

 per le proprietà della funzione potenziale all' infinito). 



b) I due corpi hanno lo stesso centro di massa. 



c) Essi hanno gli stessi assi principali d'inerzia. 



d) I loro momenti principali d'inerzia sono equidifferenti. 



h.dr = 9 , x.h.dt = 0 



