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I due ultimi enunciati si riferiscono propriamente all'ellissoide centrale 

 d'inerzia, ma, le masse essendo eguali, essi si estendono all'ellissoide d'inerzia 

 relativo ad ogni altro punto. 



II teorema da me dimostrato in un precedente lavoro ( l ), che: se la 

 funzione potenziale esterna di un corpo è simmetrica rispetto ad un asse, 

 l'ellissoide centrale di inerzia è di rotazione, può considerarsi come con- 

 seguenza particolare dell'enunciato d). 



Si può, senza molto limitare il campo d'applicazione della ricerca, sup- 

 porre la superficie S una sfera ; giacché non è necessario che i corpi consi- 

 derati riempiano tutto lo spazio r . 



Chiamiamo R il raggio della sfera e ammettiamo che la densità h nei 

 punti di una qualunque sfera concentrica di raggio q R) sia esprimibile 

 colla serie 



(4) h=J_ A s Y s 



0 



dove T s è funzione sferica di ordine s dei due angoli (0 e v , colatitudine 

 e longitudine) che fissano la direzione del raggio vettore q . Al variare di q , 

 varieranno i coefficienti A s ; ammettiamo che A s sia funzione integrabile di q 

 nell' intervallo (0 , R). Allora dalle notissime proprietà delle funzioni sfe- 

 riche si deduce che, affinchè la (3) sia soddisfatta, è necessario e sufficiente 

 che A 3 soddisfaccia all'unica condizione 



(5) (V-"«.A,.de = 0. 



•J 0 



3. Si può trattare il problema (e giungere in particolare alla condi- 

 zione (5)) in un altro modo. Detta f(x ,y , z) la funzione potenziale del 

 corpo C" di attrazione esterna nulla, per un punto qualunque del considerato 

 spazio t , questa dovrà essere finita e continua insieme colle sue derivate 1" 

 e avere le derivate 2 e finite e integrabili. E di più pei punti della super- 

 ficie S dovrà aversi 



(6) ^=0 , | = 0, 



giacché la funzione potenziale di C" è nulla all'esterno e, d'altra parte, 

 essa e le sue derivate l e variano con continuità nel passaggio attraverso S . 



Reciprocamente, ogni funzione f delle coordinate di x , la quale, insieme 

 colla sua derivata normale, si annulli sulla superficie S , e soddisfaccia, 

 entro t , alle sopradette condizioni di regolarità, potrà considerarsi come fun- 



(*) Relazioni fra i momenti d'inerzia di un corpo del quale la funzione potenziale 

 è simmetrica intorno ad un asse. Questi Rendiconti, 1° semestre 1905. 



