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purché di un certo ordine rispetto ad n (di ordine finito, p. es.), la serie 

 è convergente nel cerchio (0 , | ac 0 1 ). 



Questa proposizione è una generalizzazione di quella ben nota che sta- 

 bilisce la convergenza di 2 a n x n nel cerchio (0 , | x 0 | ) nell' ipotesi che, per 

 ogni n ^> n, sia | a n \ <C M } con M numero determinato e finito. 



Nel § 2, dimostro che, affinchè due serie di Dirichlet 



2a n e- 1 ^ z , 2a' n e~ Vn * 



rappresentino la stessa funzione, è necessario e sufficiente che, per tutti 

 gli n, sia 



&n — Q>n i "n — ™n 



(naturalmente si suppone che i coefficienti a n e a' n siano tutti ={= 0). 



§.!■ 



1. Si consideri la serie (1) e, z 0 essendo un determinato punto del piano 

 della variabile 2, si faccia l'ipotesi che, preso un numero positivo rj, si 

 possa poi sempre determinare un n tale che, per ogni r > n , sia 



(2) 



rrih r 



l 



Ponendo z = 2 0 -f- *\ si ha 



m m 



- y a n e~ XnZ = y (a n e~ XnZt >) e~ KnZ ' , 



1 1 



ed applicando la trasformazione d'Abel, 



m_ m 



(3) J a n e-~>-n* = J_ S r (2 0 ) {e-^' — e - x ^ z ') _j_ S m {2 0 ) , 



1 r=l 



r 



dove si è posto, per semplicità di scrittura, S r (^ 0 ) = X an e ~ XnZ °- Mostriamo, 



1 



ora, che se è B(/) ^> 0, ciascuna delle due parti del secondo membro di (3) 

 ammette un limite determinato e finito per m — 00 . Per ogni m^> n , 

 possiamo scrivere 



m ~n 



y S r (2o) (e- x >- z ' — e~ x ^ z ') = £ S r (^) {e- x ' z ' — e-***) + 



(4) 



Abbiamo, poi, 



é -x r 2'_ e -v +1 =' = / e~ tz 'dt, 



