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plessi e tali che, posto X n = a n -\- i@ n , sia da un certo punto in poi 

 0 < «« < a»+i ; 2°, sia lim « n = oo e lim — == 0 ; 3°, la successione A, , 



n=<x> n=oo &n 



x*, ... sia tale che, preso un numero positivo si possa sempre, corrispon- 

 dentemente, determinare un numero n in modo che, per tutti gli n^>n, sia 



@n+\ fin 



< e™» . 



3. Come caso particolare della proposizione dimostrata si ha: se esiste 

 un numero reale s tale che sia, per ogni r maggiore di un certo n , 



y 



a e -*.nZ 0 



la serie ^_ a n <r x » 2 converge in tutto il semipiano B,($) < R(* 0 ). Preso, in- 

 fatti, un numero reale rj, è 



e, per essere 



M=oo 'I e 



si può determinare un n a partir dal quale sia X s r < e^ . 



4. Si abbia, ora, un'ordinaria serie di potenze 2a n x n , e si supponga 

 che, per un certo # 0 0 , sia, a partire da un indice n , 



(s numero positivo). Si ponga s = — log x : si avrà 



2a n x n = 2a n e~ nz , 

 e, per n > n , | a n e- ns ° | •< n s (| 0 = — logx 0 ). Da ciò segue 



1 



1 y 1 a n e~ nz » 1 = y 1 e-" z <> 1 + y 1 «n e - 



< A + y n s < A + r s+1 . 



Quindi, per ogni r^>n e >A, è 



y a n e- nz ° 



e la serie 2a n e~ nz converge per ogni R(» > R(£ 0 ) (n. 3). Converge, dunque, 



