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2a n x n per ogni \x\ Analogamente, facendo uso della proposizione 



del n. 2, si dimostra la convergenza di 2a n x n nel cerchio I^Kkol» 

 nell'ipotesi che, da un certo n in poi, sia |a n #?|< e^ n , ed in generale 

 \anX$\<f(n), dove f{n) soddisfa alle condizioni: /(»)</(» + !), e 

 nfinXe** 1 , per ogni r] positivo (')• 



§ 2. 



Consideriamo due successioni distinte di esponenti 



Xy , X% , ... , X n , ... 



V ì.' X' 



e supponiamo che le due serie di Dirichlet 



2a„e~ XnZ , 2a' n e~ K 'n 



siano ambedue convergenti in un certo semipiano, rappresentando ivi la me- 

 desima funzione analitica. Possiamo anche supporre che sia a n 4= 0 i a 'n =4= 0. 

 Come è noto, se A è un numero positivo appartenente al semipiano detto, 

 è, in tutto il semipiano R(s) > A , 



lai e -> 4 z = 2s' n (e- x 'n z — e~ x 'n^ z ), 



dove abbiamo posto s n = a x + «2 -] + «n > s« = #1 + «2 -f- ' ' ' + • 



Nel semipiano S(«) >A è, perciò, 



1+» . -. 



; 



ed anche, indicando con g>(t) una funzione uguale ad Si in (a x , À 2 ), A s escluso ; 

 uguale ad s 2 in (X 2 ,X 3 ), X 3 escluso; ecc. 



J— 00 /■*«> 

 9(0 dt , 5 <r x ^ = z I <ft . 



Dovendo essere, nel semipiano > h, 2a n e~ x ^ = 2a n e K n z , 

 dovrà essere, nello stesso semipiano, 



( l ) Questo si può anche vedere direttamente osservando che è a n % n = «» 



