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Supponiamo, ora, che sia X 1 =J= X[ e, per es., h <t X\ . Ponendo <p'(t) = 0 

 nel segmento (X x , X[), X[ escluso, l'uguaglianza precedente potrà essere scritta 



/-» co /-»oo 



) <p(t)e- tz dt= (p'(t) e~ tz dt. 



Da qui segue, per un noto teorema di Lerch (*), che (p(t) — <p'(t) è una 

 funzione ad integrale nullo, vale a dire è una funzione nulla in tutti i punti, 

 eccettuati quelli di un insieme di misura nulla. In particolare, è <p(t) = <p'(t) 

 in tutti i punti in cui g>(l) e <p'(t) sono continue. 



( X 



Nel tratto (A x , «), dove è e < L ? , cp{t) e (p'{t) sono continue ; dunque 



in esso è <p{t) — <p'(t) = 0, cioè s ì = a l = 0. Ma ai si è supposto 4=°; 



deve essere perciò X 1 ==X[. In (X, , sj, dove è ei<j^?,g>(0 e g>'(t) sono 



continue e rispettivamente uguali a 1 , a[ ; deve dunque essere «i = . Analo- 

 gamente, per l'esistenza di punti di continuità per g>(t) , g>'(t), in ogni tratto 

 (X r , Xy.+ X ) , , X' r+l ), si conclude, avendo supposto a n =}= 0 , «4 =f= 0, 



A n = A ;i , # n — • 



Matematica. — dimostrazione assoluta del teorema di 

 Gauss relativo air invariabilità della curvatura totale nella fles- 

 sione. Nota di C. Burali-Forti, presentata dal Corrispondente 

 T. Levi-Civita. 



Riprendo le notazioni della mia Nota: Alcune nuove espressioni asso- 

 solute delle curvature in un punto di una superficie ( 2 ) e mi propongo di 

 dimostrare, sotto forma assoluta e semplicissima, il noto teorema di Gauss : 

 se due superficie sono applicabili esse hanno egual curvatura totale nei 

 punti corrispondenti. 



Per tale dimostrazion e occorre far uso di una nuova funzione R di una 

 omografìa vettoriale generica <t. Però delle numerose proprietà della omo- 

 grafìa Re, e che esporrò in altra occasione, basta far uso di quella che 

 serve a definirla 



{a) R<r(xAy) = NA(<ry) 



(x,y sono vettori qualunque) e di quella che, dimostrandone l'esistenza, 

 ne assegna anche la forma effettiva qualunque sia l'omogr. <r 



(b) Re = inv 8 <r — (inv,tf) Kc + K<r*, 



(>) Acta Mathematica, t. XXVII, pag. 345. 



(•) Questi Rendiconti, voi. XVIII, serie 5 a , 1° sem., fase. 2°. 



