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ovvero, per e invertibile, 



Rtf = (inv 3 ff) Kg- 1 . 



Consideriamo ora la solita superficie 2 descritta dal punto P ed, es- 

 sendo 0 un punto fisso, sia 



Q = 0 + N 



il punto che descrive l'indicatrice sferica di 2. 



Se u è vettore parallelo ad N , e ricordiamo che <rN = KcN = 0 , si 

 ha da (b) R<m = (inv 2 (r)u t 1 ) ; quindi se , JP sono spostamenti infini- 

 tesimi (normali ad N) di P, si ha da (a) 



A <?N = (tfdP) A (tftfP) = R<r(<2PA JP) = (inv 2 <r) dPA <?P 



e, in conseguenza, 



rf PA <?PXN _ ^PA<?PX N = 1 

 W ^QA^QXN ^NA^XN inv 2 ff 1 



la quale, per essere <H7WP X N , <ZQ A *Q X N elementi corrispondenti di 

 area nei punti P, Q di 2 e della indicatrice, prova che: il limite del rap- 

 porto tra un elemento di area di 2 in P e la corrispondente area dell'in- 

 dicatrice sferica è l'inverso della curvatura totale nel punto P. 



Il punto Pi, funzione di P, descriva una superficie 2,, per la quale 

 Ni , ff, abbiano lo stesso significato di N e e per 2 . 



Se 2 è applicabile su 2,(P in P,) allora per uno spostamento ri qual- 

 siasi si ha 



(dP)* = (dP,) 2 



ed esiste quindi una isomeria-destra X funzione di P, cioè una omografia X 



tale che , ... 



A (EU) = 1 , inv 3 A = l ( 2 ), 



che trasforma dV in rfP, ed N in Ni, 



(2) tóP = rfPi = Ni . 



( x ) Se X è vettore normale ad N si ha 



E«rx = 0 



perchè posto x = NAy si ha da [a] RffX = <rNA<ry = 0 . 



Applicando la (#) ad X, e ricordando che Kff=ff, si ha 

 ff 2x = t(inviff) a — inva «1 X 



che dà il quadrato di <s nel piano tangente a 2 in P. 



(») VEnseignement Mathématique, loc. cit. Giova notare che le isomerie vettoriali 

 danno sotto forma puramente geometrica e assoluta le ordinarie trasformazioni analitiche 

 di variabile complessa nella sfera e nel piano. 



