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dalla massa o densità distribuita in B considerato come appartenente 

 ad E (A'). 



3. Potenziale di una funzione u sulla massa M(A). — Sia u(x , y) una 

 funzione qualsiasi finita e assolutamente continua in tutto il campo e ; ammet- 

 teremo che, operando su u(x , y) come sopra una funzione potenziale, si possa 

 calcolarne il potenziale sulla massa M (A) mediante somme o integrali estesi 

 agli elementi costituenti l'insieme E (A). Lo chiameremo il potenziale della 

 funzione u sulla massa M(A) e lo indicheremo con P[w,M(A)]. 



4. Connessione. — Preso un punto A consideriamo un punto A' ap- 

 partenente ad E (A), quindi un punto A" appartenente ad E (A'), poi un 

 punto A'" appartenente ad E (A") e così di seguito. 



I punti A , A' , A" , A'" , . .. diremo che formano un seguito di punti 

 connessi. 



Diremo poi che un punto A è connesso col contorno di e, se, scelto 

 un numero s comunque piccolo, potremo sempre trovare un seguito finito di 

 punti A , A' , A" , A r " , . . . connessi, uno dei quali dista da un punto del 

 contorno meno di e . 



5. Teorema I. — La funzione u assolutamente continua e finita nel 

 campo <s è determinata quando : 1°) in ogni punto A interno al campo 

 si conosce 



1 



M(A) 



P[>,M(A)] — u{k) ; 



2°) si conoscono i valori della funzione u al contorno del campo ; 3°) tutti 

 i punti interni al campo sono connessi col contorno. 



Per dimostrare questo teorema basterà dimostrare che, se k è nulla al 

 contorno, e per i punti interni si ha 



(1) ^P[^M(A)]- M (A)^0, 



u è nulla internamente al campo. Infatti se, sotto queste condizioni, u non 

 fosse sempre nulla internamente al campo, dovrebbe avere nell' interno almeno 

 un massimo o un minimo diversi da zero. Per fissare le idee supponiamo che 

 nel punto interno A si abbia un massimo G. Allora u dovrà avere il va- 

 lore G in tutti i punti di E (A), perchè se in un punto B di E (A), u avesse 



un valore G' inferiore a G, si potrebbe trovare un cerchio a> avente per 



G' -4- G 



centro B nei punti del quale u sarebbe inferiore a — 7^— . La porzione 



della massa M(A) contenuta entro « deve essere per dato diversa da zero, 

 finita e positiva; chiamandola m avremmo per conseguenza 



^P[ a ,M(A)]<G-<^=«'i 

 e quindi, essendo w(A) = G, la (1) non potrebbe sussistere. 



