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Ora, se u assume il valore G in tutti i punti di E (A), e se A' appar- 

 tiene ad' E (A), u dovrà avere il valore G in tutti i punti di E(A r ) e così, 

 se A" appartiene a questo insieme, u dovrà avere il valore G in tatti 1 

 punti di E (A") e così di seguito. 



Ora se ogni punto A interno è connesso col contorno, scelto e piccolo 

 ad arbitrio potremo trovare un punto interno che dista da un punto del con- 

 torno meno di e ed in cui u assume il valore G. Ne segue, per la conti- 

 nuità uniforme di u , che G deve essere minore di qualunque quantità as- 

 segnabile, e perciò l'esistenza del massimo interno al campo è impossibile. 



Teorema IL — La funzione u finita e assolutamente continua nel 

 campo a è determinata quando per ogni punto A interno al campo si 

 conosce 



(2) zm^ :Mm ~ m 



essendo a un coefficiente il cui limile inferiore è maggiore di 1. 



Proviamo che se la (2) è nulla, u deve esser sempre nulla. Infatti se u 

 in A avesse un valore G diverso da zero, dovrebbe esistere un punto A' 

 appartenente ad E (A) in cui u avrebbe un valore assoluto eguale o supe- 

 riore ad a |G|, rappresentando con a' il limite inferiore di a; e di qui si 

 ricava che dovrebbe esistere un punto A" appartenente ad E(A') in cui u 

 assumerebbe un valore assoluto, eguale o superiore ad « 2 |G| e così di se- 

 guito indefinitamente. Dunque esisterebbero valori di u tali che il loro va- 

 lore assoluto sarebbe tanto grande quanto ci piace. 



Teorema III. — Due funzioni finite e continue assolutamente nel 

 campo a , ' tali che calcolando in ogni punto interno 



-A-P C «,M(A 0 -»(A) 



si trova per ambedue lo stesso valore, debbono essere eguali fra loro in 

 qualche punto interno o del contorno del campo, se il limite superiore 



di a è minore di 1. 



Mi risparmio di* dare la dimostrazione ben facile di questa proposizione. 



6. Esempio. — Supponiamo che E (A) sia una circonferenza C A avente 

 il centro in A e la densità con cui è distribuita la massa sia 1. Allora il 

 teorema I, del § 5 diverrà : La funzione u assolutamele continua nel 

 campo <s 'è determinata quando : 1°) si conosce per ogni punto A interno 

 al campo la differenza fra il valore medio di u sopra C A e il valore al 

 centro ; 2°) si conoscono i valori di u al contorno del campo ; 3°) tutti 

 i punti interni al campo sono connessi col contorno. 



Supposto ora che il teorema di esistenza delle funzioni armoniche valga 

 pel campo <r, avremo in particolare la proposizione: se la differenza fra il 



