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valore medio di u sopra C A e il valore al centro sarà nulla, la funzione 

 sarà armonica. 



7. Già da vario tempo ero in possesso delle precedenti osservazioni che 

 non avevo però reso note; mi sono permesso di pubblicarle avendo letto la 

 interessante Nota del prof. E. Levi inserita in questi Rendiconti : Sopra una 

 proprietà caratteristica delle funzioni armoniche (')• Se si suppone la con- 

 dizione della continuità assoluta della funzione u, affinchè possa dirsi che 

 essa è armonica, non è necessario sapere che il suo valore in ogni punto è 

 la media dei valori che assume sopra tutte le circonferenze interne al campo 

 e aventi il centro in quel punto ; basta sapere che la proprietà sussiste per una 

 sola di dette circonferenze, purché esista la connessione col contorno. Ma è 

 da osservare che in tal modo la condizione posta della continuità non può 

 togliersi, anche supponendo la integrabilità di u lungo le circonferenze C A e 

 la integrabilità superficiale. Ciò caratterizza la differenza che passa colla 

 proposizione del Levi. 



Si può riconoscere facilmente questo con un esempio. Supponendo che 

 r rappresenti la distanza del centro da un punto generico, prendiamo una 

 funzione u eguale a — log r in tutti i punti della corona circolare compresa 



fra la circonferenza C di raggio 1 e quella C concentrica di raggio -, 



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esclusi però i punti di quest'ultima circonferenza. Si prenda quindi come 

 valore di u in un punto qualsiasi A della circonferenza C o interno ad 

 essa il valore medio che assume u in una circonferenza C A avente il centro 

 in quel punto e giacente internamente alla corona circolare. D'altra parte 

 ad ogni punto A interno alla corona si può far corrispondere una circonfe- 

 renza C A avente il centro in quel punto e giacente internamente alla corona 

 stessa (ma non avente nell' interno il cerchio C) in modo che tutti i punti 

 interni alla corona siano connessi coi punti della circonferenza C di raggio 1 

 che forma il contorno dell'intero campo circolare che si considera. 



Avremo allora: 1°) u sarà compreso fra 0 e log 4; 2°) la differenza 

 fra il valore medio di u in C A e il valore di u in A sarà nulla ; 3°) tutti 

 i punti A interni a C saranno connessi col contorno, e nondimeno la funzione u 

 non sarà armonica perchè si annullerà al contorno G e non sarà nulla nel- 

 l' interno del campo. È evidente che u sarà discontinua, e che si potrà li- 

 mitarne la discontinuità solo ai punti della circonferenza C. 



Farò per ultimo osservare che le considerazioni svolte nel § 5, hanno re- 

 lazione da un lato col calcolo delle differenze finite, mentre d'altro lato 

 sono intimamente collegate colle questioni delle equazioni integrali ; in par- 

 ticolare il Teorema I è collegato coi casi in cui il determinante si annulla. 



(') Il dott. Umberto Crudeli mi comunica che, indipendentemente dalle mie antece- 

 denti ricerche, egli era giunto a dimostrare lo stesso teorema del Levi ricorrendo alla 

 considerazione di massimi o minimi interni, ma con condizioni più restrittive di quelle 

 poste dal Levi. 



