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alla ricerca del prof. Bianchi, ricerca che l'A. ha riportato nelle Lesioni 

 di Geometria Differenziale (voi. II, § 253 e segg.). 



Sia S 0 la superficie luogo dei centri M 0 delle oo 2 sfere di raggio T, 2 

 e 2 X le due falde dell' inviluppo, M ed Mi i punti ove la sfera di centro M 0 

 tocca 2 e . Le rette M 0 M ed M„ M 1 sono le normali alle due falde 

 in M ed Mi, e generano quindi due congruenze di normali C e C,, riflesse 

 l' una dell' altra rispetto ad S 0 . Si prova facilmente (§ 253) che, se S 0 si de- 

 forma trascinando seco le sfere, i punti M ed M l serbano sulla sfera una 

 posizione invariabile rispetto al piano tangente di S 0 in M 0 . 



Su S 0 prendiamo come linee coordinate u quelle che sono normali ai 

 raggi delle congruenze Cede come linee v le loro traiettorie ortogonali, 

 e diciamo e = a (u, v) V angolo di inclinazione del raggio M 0 M di S su S 0 , 

 cioè sulla linea v, angolo che non varia flettendo M 0 , per l' osservazione 

 precedente. 



Detto 



dsl =.E 0 du 2 -J- Gr 0 dv 2 



l'elemento lineare di S 0 , allora (§§ 254-255) l'angolo a risulta legato ai 

 coefficienti di dsl dalla relazione 



0) ^(t/E o cos<r) = 0, 



il raggio T risulta essere una funzione della sola u definita da 



(2) ^ = -j/E 0 cos<r 



ed i raggi principali di curvatura r l , r 2 di 2 risultano definiti da 



r 4- r - 2T 4- — r r T 2 -I- T — Sm<T 



ove M ed N sono certe funzioni lineari dei coefficienti della seconda forma 

 fondamentale di S 0 e che per brevità non trascriviamo. 



Le formole corrispondenti per 2 1 si hanno semplicemente cambiando 

 e in — tr. 



I. Ciò premesso, supponiamo in primo luogo che sia e = 0 ; allora C e C t 

 coincidono in una congruenza di tangenti di S 0 , e 2, 2 l coincidono con una 



"3 l/E 



evolvente di S 0 . Ciò risulta pure dall' osservare che la (1) dà = 0 , e 



