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quindi si può porre E 0 = 1, e che la (2) dà T = - u + cosi Inoltre allora 

 n _]_ rji ri r 2 risultano indipendenti dai coefficienti della seconda forma fon- 

 damentale di So , cioè indeformabili. Abbiamo dunque una prima soluzione del 

 problema: la S 0 è una superficie qualunque, eie due falde 2,2, dell'invi- 

 luppo di sfere coincidono con una evolvente di S 0 ; flettendo S 0 , non mutano 

 singolarmente i raggi principali di curvatura di 2. 



II. Or supponiamo * = ?. T è costante, e le due falde 2 e 2 y sono 



superficie parallele ad S 0 (che è arbitraria). 



III. Se M = 0 per tutte le flessioni di S 0 , allora (§ 261) S 0 è svilup- 

 pabile e quando si distende sul piano, i raggi della congruenza C (d) 

 debbono diventar paralleli; 2 (2,) è anch'essa una sviluppabile. 



IV. La relazione supposta sia del tipo 



r.i + r 2 == f{u , v), 



ove / è una funzione assegnata di u,v. Si trova che deve essere necessa- 

 riamente f costante ; onde, sostituendo a 2 una superficie parallela, si può 

 rendere r x -f- r 2 = 0 e si cade in una soluzione nota (§ 257): le due falde 

 di un inviluppo di sfere che hanno il centro sul paraboloide di rotazione 

 e passano per il fuoco sono ad area minima, e si conservano tali comunque 

 deformando il paraboloide. 



Non ottenendo un risultato nuovo, ci dispensiamo dal fare i calcoli, 

 per non sorpassare i limiti imposti alla Nota. Del resto essi sono analoghi 

 a quelli dei §§ 256, 257. 



V. Ora, esclusi tutti i casi precedenti, passiamo alla ricerca generale, 

 assegnando una funzione / di r x ,r % ,u,v e cercando gli inviluppi di sfere 

 nei quali una falda 2 ha i raggi di curvatura r, , r % legati dalla relazione 

 f(ri,r 2 ,u,v) = 0, per tutte le deformazioni della superficie S 0 luogo dei 

 centri, relazione che può sempre ridursi all'altra: 



(3) r l r. 2 = F (n + r 2 ; u , v), 



ora F è una funzione dei tre argomenti r x + r 2 , u , v. 



Nel § 261 il prof. Bianchi discute il caso in cui F non dipende da 

 u e v; come ho dichiarato in principio, i ragionamenti sussistono inalterati 

 quando F dipende da u e v, e provano che (') 



|/É^=1 , i/W 0 = cot g , a = a (u) , 



quindi 



dsl = du % + cot 3 edv\ 



(') Veramente l'A. esclude che la relazione supposta sia del tipo r, r 3 = cost, 

 avendo già esaminato a parte questo caso. Ma la discussione del § 261 vale anche in tal 

 caso, e però noi non escludiamo che la (3) sia del tipo r, r 3 = F (u, v). 



