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e però S 0 è applicabile sopra una superficie di rotazione; 



(4) 



la relazione supposta (3) dev'essere del tipo 



(5) 



r, r 2 = a (r, + r 2 ) + fi 



con a e fi funzioni di u , v. 



Ora è facile proseguire la ricerca. 



Anzitutto dico che a e fi debbono essere funzioni della sola u. 



Infatti S 0 è applicabile sopra una superficie di rotazione e, quando essa 

 affetta questa forma, siccome il saggio T (u) non varia lungo un parallelo 

 u = costante, è chiaro che anche la falda 2 dell' inviluppo di sfere è una 

 superficie di rotazione, sulla quale le linee u = cost. saranno i paralleli. 

 Dunque anche su 2, nella attuale configurazione, lungo una u = cost. sa- 

 ranno costanti , r 2 , e quindi r± r 2 , r x -\- r 2 : cioè r x r 2 ed r x -J- ri saranno 

 funzioni della sola u; inoltre la relazione (5) è necessariamente la stessa in 

 tutti i punti del parallelo M = cost: dunque « e fi debbono essere indipen- 

 denti da v. 



Flettendo ora S 0 , « e fi debbono rimanere fisse in ciascun punto, per 

 ipotesi, dunque per ogni configurazione di S 0 saranno a e fi funzioni fisse 

 della sola u. 



Ciò posto la (5) moltiplicata per M diventa, per le (4), 

 [(T 2 -fi) a'- T(2« + senff) + «sene;] M + (T — a) (3<r' 2 cottf - a") - a'cosa= 0 

 e, dovendo aver luogo flettendo comunque S 0 e quindi variando M, si scinde 

 nelle altre due 



Dunque, affinchè il problema ammetta una effettiva soluzione è neces- 

 sario e sufficiente che sieno soddisfatte le (2), (6) e (7). Or queste sono 

 compatibili, perchè, essendo E 0 = 1, la (2) diventa 



(6) 

 (7) 



(T* — 2«T — fi) a' — (T — a) senff = 0, 

 (T — «) (3ff' 2 cot<r — a") — a' coso" = 0. 



dT 



— == — coso - 



e dà T con una quadratura; le (6) e (7) dànno poi a e fi. 



Si osservi infine che queste forinole non si alterano cambiandovi e in — g. 



