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dove 



(6) K ro =^ 



da cui per ogni valore di m si ha una legge diversa e con ciascuna di esse 

 si ha l'ellisse di partenza. Di più ogni legge della infinità (5) genera oltre 

 all'ellisse suddetta un'infinità di ellissi con la stessa eccentricità e gli assi 

 maggiori sulla medesima linea. 



Basta appena notare V identità della (5) con la legge Newtoniana sul- 

 l'ellisse di partenza (veggasi ad esempio sulla naturale indeterminatezza 

 della forma della forza Appel, Tratte de Mécanique rationelle, t. I, pag. 375 

 in fondo e 376); mentre per le altre ellissi occorre spendere qualche parola. 



Le infinite ellissi date da ciascuna legge del sistema (5) hanno la stessa 

 eccentricità e gli assi maggiori sulla stessa linea, dunque sono simili e si- 

 milmente poste a meno di una rotazione intorno all'asse maggiore, e, per 

 essere altresì confocali nel centro di forza, avranno i raggi vettori corri- 

 spondenti ad uno stesso & proporzionali. 



In luogo di u e # prendiamo come variabile u e v dove u è sempre il 

 reciproco del raggio vettore e v è il reciproco del raggio vettore dell'ellisse di 

 partenza corrispondente allo stesso ^ cioè 



1 -I- e cos # 



(7) 



allora possiamo porre per tutti i punti di ciascuna delle ellissi del sistema 

 suddetto 



(*) V~ 



D'altra parte nelle nuove variabili la legge (5) è 



f= K m u 2 ~ m v m 



e per la (8) 



vale a dire anche sulle infinite ellissi la legge (5) coincide con la Newto- 

 niana. 



D'altra parte la (5) non può ridursi in tutto il campo alla forma, che 

 vuole il corpo centrale nel fuoco, delle due generali date da Darboux e Hal- 

 phen per la legge di forza centrale dipendente dalla sola posizione del mo- 

 bile, cioè alla 



li u 2 a 



(A cos 2 # + B sen 2# + F sen 2 #) T- 



