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assume nell'area circolare considerata. Stimo inutile riprodurre il calcolo 

 (del tutto analogo a quello della mia precedente Nota) che conduce alla 

 formola (1). 



Se dividiamo la (1) per R 2 e facciamo poi tendere R a zero, abbiamo 

 (2) lim 4fM ~ V8) = (^V) 0 . 



R=0 



Ora io mi propongo di dimostrare che questa formola può essere assunta 

 come definizione del secondo parametro differenziale di una funzione dei 

 punti di una superfìcie qualunque (salva qualche limitazione intorno al 

 modo di variare della curvatura della superfìcie), ove naturalmente s'intenda 

 che M sia la media dei valori che la V assume sopra una circonferenza 

 geodetica di centro 0 e raggio R . 



2. Non sarebbe difficile arrivare a questo risultato, partendo dallo svi- 

 luppo di Taylor applicato alla funzione V lungo un arco di geodetica uscente 

 da 0 , e integrando poscia l'espressione così ottenuta lungo la circonferenza 

 geodetica di raggio R. Ma per tenere questa via, occorre ammettere l'esi- 

 stenza delle derivate 3 e della V rispetto alle variabili che si assumono come 

 coordinate sulla superficie. Io intendo invece stabilire la (2) limitandomi 

 alla ipotesi che esistano e siano integrabili le derivate 2 e della V in un 

 intorno convenientemente piccolo del punto 0. 



3. Supporremo riferiti i punti della superficie ad un sistema di coor- 

 dinate polari geodetiche a e 0, con polo in 0. Sia 



ds* = du* + G dd 2 



il quadrato dell'elemento lineare. Riguardo alla superficie faremo le ipotesi 

 seguenti : 



a) che in un intorno finito del punto 0 la curvatura assoluta sia 



finita ; 



b) che, detto K 0 il valore della curvatura in 0, e K quello in un 

 punto M a distanza geodetica u da 0, si abbia 



(3) |K — K 0 |<A« 



dove h è una costante finita ; 



e) che Kj sia il valore massimo, e K 2 il minimo della curvatura 

 assoluta nella regione di superficie che si considera ; intendendo che in luogo 

 di K 2 si ponga zero, se la curvatura è sempre positiva o nulla, e si ponga, 

 invece, zero in luogo di Kj , se essa è sempre negativa o nulla. 

 Supporrò, per ora, K 0 positiva. 



4. Mi varrò di alcune disuguaglianze stabilite nelle mie Memorie: 



Intorno al grado di approssimazione che si raggiunge nel risolvere i 



