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d) Indichiamo con s u la lunghezza di tutta la circonferenza geodetica 

 di raggio u: avremo: 



^0 



de 



e quindi, dalla precedente diseguaglianza 



2?T r— 



^K 0 



. nhu 4 . . ./ — 

 < — j— cos ìp (u y — K 2 ) . 



Supposto che la porzione di superficie che si vuol considerare sia tutta 

 contenuta dentro il cerchio geodetico di raggio R f e centro 0, potremo nelle 

 precedenti diseguaglianze attribuire a cosip(&|/ — K 2 ) il valore massimo 

 cos ip (R! y — K 2 ) e a cos(m|/Ki) il minimo valore cos (R'^/Kj). (Supponiamo 



ben inteso R' ' \/'K l <C^:)- Le dette diseguaglianze, se poniamo 



a 



e = cos(R'|/K,) , e = cos ip (R' \' — K £ ) , 



diventano così: 

 (a) 



ir) 

 (?) 



no <cy<} <c_uc' , 



I/Kocotgiui/Ko) 



< 



%u l c 



4 c 



2 ' 



t/G-j/^sen^l/Ko) 



'' hu 4 , 

 <12 C ' 



2tt 



sen(w j/K 0 ) 



. nhu 4 , 

 <-J- G - 



Se la curvatura della superficie, nella regione che si considera, non è 

 mai negativa, dovrà porsi c' = 1 ; se essa invece non è mai positiva, si 

 porrà c= 1. 



5. Queste cose premesse, facciamo uso della forinola di Green genera- 

 lizzata (*) 



,4) a„T. - JT(y a _ | ) * + J £( v .>. r - f .j.y) 



d.Q 



dove V è una funzione finita in tutti i punti dell'area limitata Sì di una 

 superficie regolare, e ammette, entro questa regione, le derivate l e e 2 e 

 finite e integrabili; ip è una funzione generalmente finita, salvo nel punto 0, 



O Beltrami, Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque. Annali di 

 matematica, ser. II, t. 1, 1867. 



