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ove ki , ... , k h hanno in ciascun punto P le moltiplicità s — Si , ... , s—s h 

 (almeno) ('). 



Cominciamo dal considerare uno dei punti P e cerchiamo di soddisfare 

 al teorema dapprima in questo solo punto. Allora vale la dimostrazione del 

 n. 6 della Nota di Severi, che qui riproduciamo per modificarla in un punto 

 che ha interesse per il seguito. 



Il teorema è evidente se P passa per il punto P colla minima tra le 

 moltiplicità s x , ... , s h e quindi si può dimostrare per induzione passando 

 da s — 1 ad s. Se P appartiene al modulo (P, ... P/,) ed ha in P moltipli- 

 cità s si potrà quindi scrivere 



P = A 1 P,H hA*F*, 



ove le A» , per il teorema ammesso per s — 1 , hanno in P moltiplicità 

 s — Si — 1 (almeno) . Preso P come origine delle coordinate (cc 0 = 1 , 

 x y =='••= x r = 0) si avrà, ordinando nelle potenze decrescenti di x a , 



F = <DaV- , + - , F,- = (Pi x 0 ni ~ Si H — , A i =aiW 0 n - n i- s+s i+ l + 



ove <2 ,4>i ,at sono forme di % x , ... , x r degli ordini rispettivi s , s,- , s — s< — 1 

 (almeno). Ne risulta 



(Px 0 n ~ s + - == m(m x 0 n - n i- s+s i+ l + - ) {(Pi x 0 n i- s i -(- - ) 

 dalla quale identità segue 



Z a ; (Pi = 0 , 



e però, verificandosi in P il caso semplice, 



ai = Z Pij <Pj (Pii = 0 , pìj = —pji) 



in cui le pij non dipendono da x 0 e sono dell'ordine * — s t - — Sj — 1. 



Per il n. 1 si può, invece della espressione superiore di P , prendere la 

 seguente : 



F = Z (A,;— ZpyqyVj) Pi, 



i J 



(*) S'intende bene che, per semplicità, si è accolta per ciascun punto P la stessa 

 notazione s , s t , ... , s^, ma che queste moltiplicità sono eventualmente diverse dall'uno al- 

 l'altro dei punti P. 



