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indicando con q$ forme arbitrarie di e degli ordini 



% = tji ~ n — n i — n ) ~\- Si -\- Sj — S -J- 1 , 



tali che qi, = : giacché basta appunto applicare il n. 1 sostituendo alle 

 Pij le PijUij' Intenderemo anzi espressamente che le ipersuperficie q^ non 

 passino per l'origine delle coordinate e che nelle forme q# il termine di 

 grado più elevato in cc 0 sia x 0 k (cioè abbia il coefficiente 1). Allora il coef- 

 ficiente di aj 0 «-».-s+Si+i nella forma 



Bi = A, — zpa Za Fi 



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riducesi ad ok — Z py ed è perciò identicamente nullo, cioè la ipersuper- 



j 



ficie B, passa per il punto P colla moltiplicità s — Si (almeno). 



Per trattare ora il caso di un numero qualunque di punti P, avendo 

 dimostrato il teorema per un punto, procederemo pure per induzione e mo- 

 streremo che, se il teorema è vero per un certo numero y di punti P, lo 

 è anche aggiungendo un altro {y -f- l) esimo di essi. Supponiamo adunque che sia 



P^A.P.H f-A h F A , 



ove Ai , ... , À. h soddisfino adesso al teorema per quegli y punti P. Di nuovo, 

 se la moltiplicità s che 1' (y -j- l) esimo punto P deve avere per F è eguale 

 alla minima delle moltiplicità s, , ... , s h , è dimostrato ciò che si vuole : e 

 quindi, come innanzi, basterà far vedere che il teorema è vero per s, se è 

 vero per s — 1. Si rifaccia il calcolo precedente prendendo l'origine delle 

 coordinate nell' (y -f- l) esim ° punto e ponendo per le qy le stesse condizioni di 

 prima e di più queste altre che le ipersuperficie q;j abbiano negli y punti 

 P moltiplicità così elevate che in essi le moltiplicità delle ipersuperficie B; 

 sieno quelle delle ipersuperficie A* . Ciò è certamente possibile scegliendo n 

 opportunamente grande e prendendo, ad es., per le ipersuperficie qy l'in- 

 sieme di coni arbitrari di ordini s — s, — Sj coi vertici nei detti y punti P 

 ed aggiungendo eventualmente altre ipersuperficie arbitrarie così da raggiun- 

 gere l'ordine Allora si conclude, come dianzi, che anche nell' (y + l) es «»»« 

 punto P si ha per le ipersuperficie Bj la moltiplicità richiesta dal teorema ; 

 il quale per conseguenza è così dimostrato. 



3. Mediante il precedente teorema possiamo ora dimostrare quest'altro, 

 nel quale però compare una limitazione per la <P : Se h ( <. r) ipersuper- 

 ficie Fi,... F h , di S r degli ordini n!,...,n h si segano in una varietà 

 ad r — h dimensioni {anche con parti multiple) <P r -h e si ha un numero 

 qualunque {finito) di punti P di <P r -h in ciascuno dei quali le F 1 , ... , F h 



