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presentino il caso semplice ed abbiano le moltiplicità s x , ... , s h , il sistema 

 lineare delle ipersuperficie F del modulo (F, ... F A ) che hanno in ciascun 

 punto P la moltiplicità s, ha la dimensione 



DJn ; ny , ... , n h ) — Z Dfe(s — 1 ; s, , ... , s ft ) — 1 . 

 p 



Si è posto, come fa il Severi, 



_/n — n it -\-r\ (n — n h — n;*-\-r\ 

 D ft (» ; », , . . . n h ) = Z y r r / + 



+ ... + ( _ i r z - *■ ~ < ~ - - + r ) + 

 + (_ ^n- ni -n 2 - n h + r^ ^ 



ove per i x , m' 2 , ••• , «1*2 — U r \ si devono sostituire tutte le combinazioni di 



l a , 2 a , ... , (h — l) a specie dei numeri 1,2, ... , h, colla solita convenzione 



di porre zero per ogni simbolo combinatorio in cui il numero superiore è 



<>; ed inoltre si indica con Z una somma estesa a tutti i punti P. 



p 



Basterà dimostrare, in virtù della proprietà del n. 2, che la suddetta 

 dimensione (sempre per n opportunamente grande) è quella del sistema 

 lineare 



Ai Fj -| |- A,F ft = 0; 



nel quale le ipersuperficie A x , ... , A ft degli ordini n — n, , ... , n — n h hanno 

 in ciascun punto P le moltiplicità s — Si , ... , s — s h . 



A tale scopo, come già si è accennato in principio, si deve fare un 

 ragionamento affatto simile a quello del n. 18, Cap. 11° del mio libro. Si 

 trova dapprima che i sistemi lineari Ai Fi = 0 , A 2 F 2 = 0 si segano in un 

 sistema X Fi F 2 == 0 , ove X è una ipersuperficie di ordine n — n x — n 2 

 che ha in ogni punto P moltiplicità s — fa — s 2 (0 nessuna, se questo nu- 

 mero è <l 0). Poi tre sistemi Ai F, = 0 , A 2 F 2 = 0 , A 3 F 3 = 0 si segano 

 nel sistema nel quale si segano (ad es.) il sistema X Fi F 2 = 0, ora detto, 

 e il sistema A 3 F 3 = 0 e però in un sistema Y F, F 2 F 3 = 0, ove Y è una 

 ipersuperficie di ordine n — n x — n 2 — n 3 che ha in ciascun punto P una 

 moltiplicità s — Sj — s 2 — s 3 , ecc. Gli h sistemi lineari A, Fi = 0 , ... , 

 A h F ft = 0 , le loro intersezioni a due a due, ... , ad h — 1 ad h — 1 , e 

 l'intersezione di tutti gli h sistemi hanno quindi le dimensioni (essendo 



