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In vero, per il detto valore di s e supposto sempre n opportunamente 

 grande, si ha 



D r (n ; riy ... n r ) = ^ r ^ — 1 — n 2 ... n r 

 D r (s — '1 ;s\ ... s r ) = ^ ^ r ) — 1 — Sl s * "• Sr 

 e inoltre, per la condizione del caso semplice, 



2 S\ S 2 ••• S? — — Yl\ 7l 2 ... ¥1? • 

 p 



Sicché, applicando la proposizione del n. 3, si trova 



come dimensione del sistema lineare delle ipersuperficie appartenenti al mo- 

 dulo (Pi ... F r ) ed aventi in ciascun punto P la considerata moltiplieità s . 

 Ma questa è anche la dimensione del sistema di tutte le ipersuperficie (di 

 ordine abbastanza alto) che hanno in ogni punto P quella moltiplieità s: 

 quindi il teorema risulta dimostrato nell' ipotesi di n opportunamente elevato. 



Si passa ora a qualunque valore dell'ordine n di P, considerando il 

 prodotto di P per una forma generica d> di ordine abbastanza alto, così 

 che il teorema sia valevole per il prodotto <PP , cioè si abbia 



^F = A 1 P 1 H f-A r F ri 



da cui, per il teorema del n. 4 della Nota di Severi, si trae appunto 



p = a;p,h — (-a; f,. 



Si può notare che, se s è abbastanza grande, si possono scegliere (se- 

 condo il n. 2) per le A[, A' 2 , ... , A' r ipersuperficie aventi in ciascun punto P 



moltiplieità s 2 + s 3 H H s r — r -j- 1 , s l + s 3 -f- •• • + s r — r -f- 1 , ... , 



•Si + s 2 -j 1- s r _i — r -f- 1 (almeno), mentre pare che ciò non possa farsi 



per n qualunque, se r > 2 . 



