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Basterà ansi integrare la (II) sul piano £ = 0 ; perchè la □ U = 0 

 determinerà la U in tutto lo spazio. Viceversa la U soddisfi per £ = 0 

 alla (II), e per £=|=0 alla aU = 0. Essa soddisferà alla (II) anche per 

 £ > 0 , perchè i due memori di (II) sono integrali di □ = 0 nulli all' in- 

 finito, e regolari per £ > 0 . Sottraendo la (II) dalla □ U = 0 , si trova che 

 per £ > 0 è 



(8) f.+ff=o □ * = <>, 



quando si ponga 



UU a*h VU 



0 = 



->£ 2 ir 



+ -2-L^ + w(1_a) ^FJ 



Ma dalla (8), coi soliti e classici metodi di integrazioni per parti, si deduce 

 @ = 0, ossia si deduce che U soddisfa alla (6). 



In modo simile si trova che basterà determinare V in guisa che sod- 

 disfi a un'equazione (II) Ms , affatto analoga alla (II), sul piano £ = 0. La 

 V resterà determinata in tutto lo spazio dalla □ V = 0 , e si proverà an- 

 cora che essa soddisfa alla (6). 



Non abbiamo finora tenuto conto di (4) 6fe . Ma dalle (6) si trae pel- 

 le (3) e per (7) 



donde, con metodo analogo al precedente, si trova che per £ = 0 , la 

 soddisfa alla 



(ni) v + < -*)^ + ^~ °' 



equazione dello stesso tipo della (II). Se ora la (II) possiede un solo inte- 

 grale regolare e nullo all'infinito, dalla (III) si deduce <P .= 0 ; ossia le 

 U , V determinate dalle (II), (II) 6iS soddisferanno senz'altro alla (4) &is . Se 

 invece per la (II) non vale un teorema di unicità, bisognerà per U , V sce- 

 gliere due tali integrali delle (II), (II) Ks , che la CP non solo sia un inte- 

 grale di (III), ma sia senz'altro identicamente nulla. In sostanza la nostra 

 questione è ridotta allo studio dell'equazione 



~**f i H n *V . a * h * W f ■ ì 

 V + ( ~~ a } ^ 2 + "4~ # = ° De "° 



Rendiconti. 1909, Voi. XVIII. 1° Sem. 52 



