— 390 — 



Questa è l'equazione che Eulero trovò per le campane sonore, e che 

 egli studiò in Petrop. Comm., 1764, pag. 261 e seg.; cfr. anche la Mem. 

 del Plana nel Journ. de l'École Polytechnique (1815). Per altre indicazioni 

 bibliografiche cfr. Burkhardt, Entwickelung nach oscillierenden Functionen 

 negli Jahresberichte der deutschen Mathematischen Vereinigung, Bd. 10, 

 pp. 360 e 365 (1902). 



Matematica. — Doppi sistemi di linee della sfera immagini di 

 asintotiche. Nota di Gustavo Sannia, presentata dal Socio L. Bianchi. 



Se di una superfìcie si fa la rappresentazione sferica di Gauss, al doppio 

 sistema delle asintotiche della superficie corrisponde sulla sfera un doppio 

 sistema di linee che non è qualunque. Ed è importante la conoscenza dei 

 doppi sistemi di linee della sfera che sono immagini di asintotiche di qualche 

 superficie. 



Scopo di questa Nota è di segnalarne alcuni di facile costruzione e che 

 dipendono da sei funzioni arbitrarie. 



Prese ad arbitrio due curve nello spazio, si considerino i coni che 

 dai punti di ciascuna di esse proiettano l'altra: questi coni, trasportati 

 parallelamente a se stessi col vertice nel centro di una sfera, tracciano 

 sulla sfera un doppio sistema di linee che sono le immagini delle asin- 

 totiche di una superficie. 



Infatti i detti coni sono le sviluppabili della congruenza costituita dalle 

 rette che si appoggiano alle due curve, e che ha le superficie focali ridotte 

 a queste curve. La superficie media della congruenza è una superficie di 

 traslazione sulla quale, come è facile vedere i detti coni tracciano un 

 doppio sistema coniugato. Da ciò segue subito l'enunciato, perchè, come ha 

 dimostrato il Guichard. se le sviluppabili di una congruenza tracciano sulla 

 superficie media un doppio sistema coniugato, le loro immagini sferiche sono 

 anche immagini delle asintotiche di una superficie ( 2 ). 



Daremo anche una dimostrazione analitica, per cercare nel contempo 

 come si caratterizzano i nostri sistemi sferici e di quali superficie sono im- 

 magini di asintotiche. 



Se 



%\ = %i{u) , yi = yi(u) , *i = *,(«) , 

 x t = x t {v) , y% = Vì{v) , z% — Zt(t>) 



sono le equazioni delle due curve, le coordinate X , Y , Z del punto imma- 



(*) Cfr. p. es. Bianchi, Lezioni di Geometria differenziale, 2 a ed., voi. I, pag. 142; 

 oppure Darboux, Lecons sur la théorie générale des surfaces, t. I, pag. 98 e segg. 

 ( 2 ) Bianchi, loc. cit, II, § 229. 



