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da cui, eliminando r , 



~òu\ 1 ) -òu(2) (15(2) ' ' 



Queste relazioni caratterizzano i nostri sistemi sferici u , v , e pro- 

 vano l'enunciato, perchè 



2_ p) 2_ (12) 



è la condizione (del Dini) necessaria e sufficiente affinchè le linee sferiche 

 u , v sieno le immagini delle asintotiche di una superficie S 



È facile poi cercare le corrispondenti superficie S . Basta osservare che 

 la (1), col porre 



ry> = d , 



diventa 



Prese ad arbitrio tre soluzioni linearmente indipendenti di questa equa- 

 zione 



£ = /i(») + spi(y) , v = f*(u) + (pz(v) , c = f\{u) + 9i ( v ) ; 



le formolo di Lelieuvre, cioè le 





V 







V 



7>y 



1)U 





~ÒU 



' Tè = 







e le analoghe che si ottengono cambiandovi x ; tj , £ in «/ , £ , £ o in * , f , r/ , 

 definiscono una superficie 



ne = 3c{u, v) , y = y(u,v) , z —j(u , y) 



sulla quale le u ,v sono le asintotiche ( 2 ). 



Or queste superficie son note ( 3 ) e si ottengono con la seguente costru- 

 zione di Darboux ( 4 ): se per ogni punto di una superficie di traslazione 

 si conduce il raggio intersezione dei due piani osculatori delle curve ge- 

 neratrici che vi passano, si forma una congruenza sulle cui superficie focali 

 si corrispondono le asintotiche (cioè una congruenza W) ; le superficie fo- 

 cali sono le più generali superficie cercate. 



( 1 ) Bianchi, loc. cit., I, § 73. 

 (*) Bianchi, loc. cit., I, § 77. 

 ( 3 ) Bianchi, loc. cit., II, § 245. 



(*) Darboux, Lecons sur la théorie generale des surfaces, t. Ili, pag. 372 e segg. 



