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Matematica. — Sulle soluzioni fondamentali delle equazioni 

 alle derivate parziali. Nota di Guido Fubini, presentata dal Socio 



C. SOMIGLIANA. 



1. Lo studio delle soluzioni fondamentali di alcune classi di equazioni 

 alle derivate parziali fu già oggetto di molti studi da parte dei sigg. Somi- 

 gliana (}), Fredholm ( 2 ), Hilbert (»), Picard {% Hadamard ( 5 ), E. Levi ( 6 ). 

 In tali ricerche si usarono i metodi più svariati; in questa Nota io voglio 

 dimostrare che per talune classi di equazioni totalmente ellittiche (a carat- 

 teristiche non reali) di ordine qualsiasi il classico metodo delle approssima- 

 zioni successive può bastare allo scopo. I risultati che otterremo, mentre 

 sono meno completi di quelli già noti per le equazioni lineari, sono d'altra 

 parte più generali, in quanto che sono applicabili anche a talune classi di 

 equazioni non lineari. I risultati seguenti bastano però per le più importanti 

 applicazioni di dette soluzioni fondamentali alle equazioni lineari : p. es. alla 

 dimostrazione del teorema di esistenza per mezzo del principio di mi- 

 nimo ( 7 ), e del teorema che gli integrali di un'equazione totalmente ellit- 

 tica a coefficienti analitici sono analitici: per il che basta ( 8 ) saper esten- 

 dere in campi arbitrariamente piccoli la forinola di Green. 



Io non tratterò per brevità il caso generale; e mi limiterò all'esame 

 di un caso particolare, indicando nel punto fondamentale come si completi 

 il metodo per le equazioni generali. 



2. Sia data l'equazione ellittica 



l> 2 u ~ò 2 u l> z u ~òu . , ~òu . | , 

 (D a ±± 4. 28— \-y — - = a — -\- b —- -\- cu -\- d , 



dove a , 8 ,y ,a ,ò ,c ,d sono funzioni analitiche ( 9 ) delle 5;,^ in un certo 



(*) Sui sistemi simmetrici, ecc. Annali di Matematica, serie 2 a , tomo 22, 1894. 



(*) Sur les équations de Véquilibre etc. Acta Mathematica, tomo 23, 1900. 



(.») Cfr. la Dissert. (Gottingen, 1901) di Hedrick, Ueber den analytischen u, s. w. 



( 4 ) Il metodo di Picard fu esteso da Holmgren, p. es. nei Matematische Ann., tomo 58, 

 Ueber die Existenz. u. s. w. 



( 5 ) Recherches sur les solution* fondamentales, etc. Ann. de l'École Norm. Supé- 

 rieure, sér. 3, t. 21 e 22. 



( 6 ) Sulle equazioni lineari, ecc. Rend. del Circ. Matem. di Palermo, tomo 24, 1907. 

 (') G. Fubini, Il principio di minimo e i problemi, ecc. Rend. del Circ. Matem. 



di Palermo, tomo 23, 1907. 



( 8 ) Levi, loc. cit. 



( 9 ) Basterebbe che a , p ,y , a , b , c , d soddisfacessero a quelle condizioni di conti- 



