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campo r . Noi non supporremo (come si potrebbe nel caso attuale) « — 1 = 

 = £ ~ 1 = y = 0 ; e ciò, perchè tale ipotesi toglierebbe al nostro metodo 

 ogni possibilità di applicazione a equazioni lineari di ordine superiore, 

 o dipendenti da più che due variabili indipendenti. Sia 0 un punto (che 

 per semplicità supporremo essere l'origine) interno al campo r. Si dice che 

 u{x .y) è una soluzione fondamentale della (1) relativa al punto 0, se la u 

 esiste in un intorno C di 0, soddisfa ivi alla (1), è in ogni punto distinto 

 da 0 finita e continua insieme colle sue derivate prime e seconde, ha nel 

 punto 0 derivate prime infinite del primo ordine, ed è nel punto 0 infinita 



di ordine inferiore al primo : si assume — — — - = 1 e r ( x ? ^) come 



r \ x i V) f/ x 2 -J- y 2 



infinito e come infinitesimo principale. 



Indichiamo con « 0 . /?„ , y 0 i valori di a , p , y in 0. e poniamo 



«o — « =P , ft, — § = q ■ Yo — Y 



■ r , 



(2) l ^ 2 ^ q ^y + r lf+ a ^ + b Ty +m + d - 



— F [u(x , y) ; a> , y] . 



La (1) si potrà scrivere 



(3) Ju == F [u{x , y) ; a> , y] . 



E, si ricordi, <*<>,/?„, y 0 sono costanti, p .q, r sono nulle in 0. Se fosse 

 identicamente F = 0, la nostra soluzione fondamentale sarebbe la 



= log |/y 0 ^ 2 + «o y 2 — 2/S 0 a:y ; 



noi, per maggior comodità di calcolo, supporremo a 0 = y 0 = 1 ; p 0 = 0 : 

 ciò che nulla toglie alla generalità del metodo seguente. E integreremo 

 la (2) con approssimazioni successive, assumendo u 0 = log r(x , y) come 

 prima approssimazione di u. Porremo q = g(x,y ; £,i?) uguale alla distanza 

 dei punti (x , y) e (£ , iy) (*). Le equazioni, che dovremo successivamente 



nuità e derivabilità (ben note dalla teoria del potenziale) che rendono legittimi i calcoli 

 seguenti. L'analicità è invece necessaria, se si vogliono considerare anche i valori com- 

 plessi delle x , y (cfr. Levi, loc. cit). 



( J ì Nel caso di equazioni lineari di ordine superiore si può scrivere ancora l'equa- 

 zione sotto una forma analoga alla (3). Il primo membro J(u) sarà un polinomio lineare 

 omogeneo nelle derivate di ordine massimo, e a coefficienti costanti. Nel secondo membro 

 i coefficienti di queste derivate saranno nulli in 0. La dimostrazione continua poi affatto 

 identica, con questa sola avvertenza che l'ufficio qui tenuto dalle r , q è nel caso generale 

 tenuto dalle soluzioni fondamentali del Somigliana (cfr. loc. cit.). 



