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integrare per applicare il metodo delle approssimazioni successive, sono le 

 seguenti : 



(4) J(uì) = F [>ì_i(# , y) ; x , y] per 2 = 1,2,3, ... , 

 donde si deduce 



(5) uì(x , y) = h F , j?) ; ? , j?] log e rf? drj + i>i(a! , y) , 



dove A è una costante numerica, (| , kj) e (a? l y) sono punti variabili in 

 un campo G tutto interno a r e contenente 0 al suo interno, Vi è una 

 funzione esistente in C e soddisfacente alla Jv,: = 0 . Le funzioni Ui , così 

 definite, esistono in C e vi soddisfano alle (4). Noi dovremo scegliere le Vi , 

 in guisa che le it; abbiano in 0 la singolarità richiesta per una soluzione 

 fondamentale. Ora, come risulterà evidente da quanto segue, l' integrale del 

 secondo membro della (5) è finito in 0, mentre le sue derivate vi diventano 

 infinite di ordine inferiore al primo. 



Il modo più semplice di scegliere le Vi è quindi quello di porre 

 Vi == log r(x , y). Con questa scelta la ui è completamente determinata ; e 

 ci resterà solo da studiare il lim u% , ossia la serie 



(6) u = u<, + Wi -jrm + ••• , 

 dove si è posto 



(7) wi == iti — Ui-i • 



3. Dalle (5), (7) e dalla v- t = log r si deduce: 



ufi = hJ^F [log r(£ */] log q d£ drj 



m = h F [wì-v{ì; , rj) ;g ,rj] log $ d£ drj per i > 1 . 



(8) 



Ne segue facilmente: 



1°) Le Wi sono finite e continue in tutto C . 



2°) Le derivate prime delle Wi per i^>l sono finite e continue in 

 tutto C ; le derivate prime della w x hanno in 0 al massimo una singolarità 

 logaritmica. 



3°) Le derivate seconde delle wi per i > 2 sono finite e continue 

 in tutto C; le derivate seconde di W\ e w 2 hanno rispettivamente in 0 al 

 massimo un infinito del primo ordine, e un infinito logaritmico. 



Dimostreremo queste proprietà p. es. per la w x ; le w% , w 3 , ... si stu- 

 diano in modo analogo. Spezziamo il campo C in tre campi C',C",C", di 

 cui i primi due siano p. es. cerchi uguali aventi il centro rispettivamente 



