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D 2 log r 



se M è una costante positiva abbastanza grande. Osservando poi che — — 2 



1 



ha per {x,y) = {ì, »?) un infinito del secondo ordine, se si assume - come 

 infinito principale, si trova che il secondo termine del secondo membro di 

 (8) 3 è in valore assoluto minore di J^- tè drj , se N è una co- 



stante abbastanza grande. Integrando con coordinate polari aventi l'origine 

 in 0, e ricordando che la massima corda di G" è, per ipotesi, infinitesima 

 del primo ordine rispetto a r(x , y); si trova che il termine considerato ha 

 pure per (x , y) = 0 al massimo un infinito del primo ordine. c. d. d. 



Resta così dimostrato che la u{x , y) definita da (6) soddisfa formal- 

 mente alle condizioni volute di essere un integrale di (1), e di avere nel 

 punto 0 la singolarità richiesta per una soluzione fondamentale. 



4. Resta quindi solo da dimostrare la convergenza uniforme della (6), 

 e delle serie che se ne deducono derivando una 0 due volte termine a ter- 

 mine. A tal fine ricordiamo che, se noi prendiamo dai primi tre termini di (6), 

 tutti gli altri sono finiti e continui in tutto (G), insieme colle loro derivate 

 prime e seconde. Se è il massimo valore assoluto di F \wì{x ,y);x,y] 

 in C , si deduce con metodo oramai classico (*), che : 



~òx 



~òx l>y 



< K>, ; 

 <;fy*i ; 



< li*, 



dove l è una costante numerica, K è una costante che si può rendere pic- 

 cola a piacere, impicciolendo sufficientemente il campo C. Osservando che 

 p ,q ,r sono infinitesime in 0 , se ne deduce 



| F(wt+i)|,< H#i , e quindi |jt i+1 |OfH, 



dove H è una costante, che si può rendere piccola a piacere, impicciolendo 

 abbastanza il campo C. Queste disuguaglianze dimostrano la convergenza 

 assoluta e uniforme della serie (6), e delle serie che se ne deducono de- 

 rivando una 0 due volte termine a termine. 



Tanto basta a dimostrare l'esistenza della soluzione fondamentale u{x ,y) 

 cercata. 



(') Cfr. p. es. Picard, Sur les méthodes des approximations etc Journal di Liou- 

 ville. 1890. 



Rendiconti. 1909, Voi. XVIII, 1° Sem 57 



