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Matematica. — Sulla caratteristica del determinante di una 

 forma di Hermite. Nota di 0. Nicoletti, presentata dal Socio 

 U. Dini. 



1. Siano 



(!) A(x ,x) = Ia ili x i x 1l , B(x ,x) = 2b ik XiX h , 

 («a = a ki , % = b hi , i,k=l ,2 n) 



due porrne di Hermite in 2n variabili complesse coniugate x. x , x % . '. . x 9 .; 

 X\ , x t . . . x n e poniamo 



( 2 ) |A«i +B<H 2 | = |«£ k <»i +*/»«»i|= (AB)»»;' + 



(AB) n _j co?- 1 co 2 -) f- (AB) 0 < , (* , k = 1 , 2 ») ; 



indichiamo cioè con (AB), (r = n , n — 1 , ... 0) gli invarianti simultanei 

 del fascio di forme Aw, -f- B« 2 . Supporremo che il determinante (2) non 

 sia identicamente nullo. 



Supponiamo anche che la forma B(x , x) non sia indefinita. È noto 

 allora il teorema: 



I divisori elementari del determinante (2), diversi da 

 una potenza di co l , sono reali e lineari (*). 



In altre parole, l'equazione in co (non identica): 



( 2 )' (AB) 0 co" -f (AB), a)"" 1 + (AB)„ = 0 



ha tutte le sue radici reali, ed una radice co 0 di essa equazione, multipla 

 di ordine k, rende il determinante (2), nel quale si ponga w, = 1 , co, = co 0 , 

 di caratteristica n — k . 



Ricordiamo ancora (come immediato corollario della regola di Cartesio) 

 che in una equazione algebrica con tutte radici reali non possono mancare 

 due o più termini consecutivi, compresi fra termini diversi da zero ( 2 ). 



Se, oltre la forma B, anche la k(x , x) si suppone non indefinita, 

 le radici dell'equazione (2)', che non sono nulle, hanno tutte lo stesso segno ; 

 quindi, ancora per la regola di Cartesio, nell'equazione stessa non può man- 

 care alcun termine, compreso tra due diversi da zero. 



2. Dalle considerazioni precedenti si traggono conclusioni notevoli. 



O Cfr. Muth, Theorie uni Anwendung der Elementartheiler (Teubner, Lipsia, 



1899, pp. 179, 180) ed anche: Nicoletti, Su una classe di equazioni a radici reali (An- 

 nali di Matematica, ser. 3 a , tomo IX, pp. 106-110, Milano, 1903). 



(') Cfr. Netto, Vorlesungen uóer Algebra (Teubner, Lipsia, 1896, voi. 1°, pag. 221). 



