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Supponiamo che la forma B(# , x) non sia indefinita ; si ha il teorema : 

 Condizione necessaria e sufficiente perchè il determi- 

 nante A (a,A=l,2,...,w) abbia la caratteristica r 

 (con 0<.r<_») è che si abbia: 

 (3) r (AB) r+2 = (AB)™ = 0 , (AB) r H=0 



11 teorema è evidente per r = n,r = n- l: per r < n — 1 , ricordando 

 che la equazione (2)' ha tutte le radici reali, dalle (3) r si trae (poiché 

 (AB)*. =4= 0): 



(AB), +3 = (AB) r+4 = - = (AB)„ = 0 



e quindi l'equazione (2)' ha la radice zero multipla dell'ordine n — r (e non 

 maggiore, poiché (AB) r =^0); perciò il determinante (2), nel quale si sia 

 fatto (»! = 1 . oo, = 0 , cioè il determinante della forma A , ha la caratteri- 

 stica r, il che dimostra il teorema. 

 In guisa del tutto analoga si ha: 



Se anche la forma A(x , x) non è indefinita, condizione 

 necessaria e sufficiente perchè il determinante A abbia la 

 caratteristica r (con 0<r<») è che si abbia: 



(8); (AB) r+1 = 0,(AB) r =|=0. 



In questo caso dunque la condizione (AB) r+2 == 0 è contenuta nelle altre 



due ( 2 ). 



3. Poniamo in particolare 



m 



B(x , x) = Xi Xi , (m < n) 

 i 



e distinguiamo due casi: 



a) Sia m = n. È (AB) 0 = 1 ed (AB),, è la somma dei minori prin- 

 cipali di ordine r del determinante A. Abbiamo dunque: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè il determi- 

 nante A di una forma di Hermite abbia la caratteristica r 

 è che sian nulle le somme dei minori principali di ordine 



(') Poniamo, come è naturale, (ABV+i = (AB^+a — 1 

 ( a ) Questo in particolare accade quando si abbia 



v 



Ai i , X) = Za • fi* (#) • 



ì • • • • e 



essendo le fi, SI* , ..... , fi P p forme lineari nelle ,...#„. In questo caso il determi- 



nante A si ottiene moltiplicando (per righe) la matrice delle forme fi, ,'Ì2 2 , ... , & P per 

 quella delle forme coniugate: se in particolare le forme stesse sono reali, il determi- 

 nante A è il quadrato per righe della matrice delle forme i2, , ,G a fij?. 



