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r-4-1 ed r-\-2 del determinante stesso e non quella dei mi- 

 nori principali di ordine r. 



Se la forma A di Hermite non è indefinita, è neces- 

 sario e sufficiente sia nulla la somma dei minori princi- 

 pali di ordine r-f-1 e non quella dei minori di ordine r. 



Ne segue evidentemente: 



Se un determinante A di Hermite ha la caratteri- 

 stica r, vi è in esso qualche minore principale di ordine r 

 diverso da zero. 



b) Sia m<C.n. Perchè il determinante (2) non sia identicamente nullo, 

 la matrice delle ultime n — m righe (o colonne) del determinante A deve 

 avere la caratteristica n — m; (AB) r è poi (per r> n — m) uguale alla 

 somma dei minori principali di ordine r del determinante A, i quali con- 

 tengono il minore di ordine n — m delle ultime n — m righe e colonne. 



Supponiamo in particolare che questo minore sia diverso da zero; è 

 allora anche soddisfatta la condizione che la matrice delle ultime n — m 

 righe (colonne) di A abbia la caratteristica n — m ed è insieme (AB)„_ TO =f=0. 

 Abbiamo così il teorema: 



Sia A, un minore principale diverso da zero, di or- 

 dine t, del determinante A di Hermite. Condizione neces- 

 saria e sufficiente perchè il determinante A abbia la ca- 

 ratteristica r>t, è che sian nulle le somme dei minori 

 principali di ordine r + 1 ed r -f- 2 del determinante A che 

 contengono A, (se la forma k(x , x) non è indefinita, la 

 somma dei minori principali di ordine r-f-l che conten- 

 gono A,) e non quella dei minori principali di ordine r, che 

 contengono A ( . 



E come sopra, ne segue: 



Se un determinante A di Hermite ha la caratteristica r 

 ed A f è un suo minore principale di ordine t, diverso da 

 zero, vi è in A qualche minore principale di ordine r, di- 

 verso da zero, che contiene A t . 



4. a) Se gli elementi a iH si suppongono reali, il determinante A è sim- 

 metrico, ed il primo teorema del n. 2 è noto in parte per r—n—2. 



b) Gli elementi a ift siano immaginari puri, e quindi sia a ih == —a K ; 

 dividendone tutti gli elementi per i, il determinante A si riduce ad un 

 determinante emisimmetrico reale. In questo caso tutte le (AB) r con r == 1 

 (mod 2) sono identicamente nulle; deve dunque nella (3) r aversi r = 0 

 (mod 2), ed essendo allora identicamente (AB) r+I = 0 , le (3) r si riducono 

 alle due condizioni: 



(AB) r+2 = 0 , (AB), 4=0, (r = 0 (mod 2)). 



