- 431 — 



Ne seguono, in particolare, i teoremi: 



Qualunque determinante emisimmetrico , ad elementi 

 reali, ha caratteristica pari. 



Perchè un determinante A emisimmetrico, reale, abbia 

 la caratteristica 2s, è necessario e sufficiente che sia nulla 

 la somma dei suoi minori principali di ordine 2s+2, ma 

 non quella dei minori principali di ordine 2s . 



Se un determinante emisimmetrico, reale, ha la carat- 

 teristica 2s, vi è in esso qualche minore principale di 

 ordine 2s diverso da zero. 



Sia A l)k un minore principale, di ordine 2k, diverso da 

 zero, del determinante emisimmetrico reale A; perchè que- 

 sto abbia la caratteristica 2s (con s>k) è necessario e suf- 

 ficiente che sia nulla la somma dei suoi minori princi- 

 pali di ordine 2s + 2 che contengono il minore A 2fe , non 

 lo sia la somma analoga dei minori principali di ordine 2s . 



5. Facciamo ancora una osservazione. Il teorema generale, dimostrato 

 al n. 2, dà come condizioni necessarie e sufficienti perchè il determinante A 

 di Hermite abbia la caratteristica r, le due eguaglianze (AB) r +, = (AB) r + 2 = 0 

 e la disuguaglianza (AB) r =j= 0. 



È facile vedere che queste condizioni sono indipendenti. Osserviamo 

 perciò innanzi tuttoché l'essere (AB) r 4=0, porta che il determinante della 

 forma B(#,#), non indefinita per ipotesi, ha una caratteristica non minore 

 di n — r e quindi non può aversi identicamente (cioè qualunque siano le 

 a hi = a h d (AB) s = 0 con s > r. Osserviamo inoltre che qualunque equazione 

 G(tó) = 0 di grado m<n, a radici tutte reali, può sempre riguardarsi 

 come ottenuta eguagliando a zero il determinante del fascio di due forme di 

 Hermite in 2n variabili, la seconda delle quali non sia indefinita. Se è infatti 

 G(&>) = (co — co,) (w — w 2 ) ... (w — <o m ) 



basta porre per questo: 



m n «l 



k(x ,x) = y_ i mXiXi J r ^xnxn 5 ©(a; ,x)= 2j Xì Xì . 



1 m-ni 1 



Ora è possibile, in infiniti modi, costruire una equazione, con radici 

 tutte reali, nella quale manchi un termine di posto assegnato (purché i due 

 che lo comprendono abbiano coefficienti diversi da zero e di segno contrario) ; 

 in particolare potremo fare in modo che si abbia (AB) r+ i = 0, con (AB),. 4= 0 

 ed insieme (AB) r+2 4=0, ed anche (AB) r+1 + 0 ed (AB) r+2 = 0 (ed insieme 

 (AB) r+3 4= 0). Ne risulta senz'altro la nostra asserzione. Questo non esclude 

 però, come è ben naturale, che per classi particolari di determinanti di 

 Hermite (come ad es., quando anche la forma A non è indefinita) queste 

 condizioni non possano ridursi ad un numero minore. 



