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Supponiamo dunque dato (scelto a criterio) anche OA e così il problema 

 diviene : 



Dati i punti 0 , A , B , ed una lunghezza l di filo colla quale si 

 vuole fare il contorno, trovare la forma della curva che rende massimo 



I 



tang 6 dx . 



Si tratta di trovare la funzione y di x che rende nulla la variazione : 



ò f B y - dx -f 16 f Vi -}- y '« dx 



*J A X xj a 



dove il secondo integrale è la semilunghezza / e dove X rappresenta una costante 



da valutare in seguito. Questo ove si ponga: f=- + ^t/l + y r * si ottiene 

 secondo il Calcolo delle variazioni col soddisfare alla equazione indefinita: 



V , à?_ j/_ 



~òy dx ~òy' " 1 ~ dx* l>y" 



ed alla equazione ai limiti, la quale però nel nostro caso svanisce perchè i 

 primi suoi due termini (quelli in dx e Sy) sono nulli nei punti A e B che 

 il problema suppone fìssi e perchè gli altri termini (quelli in òy', óy" ',...) hanno 

 coefficienti nulli non contenendo la f derivate superiori a y . Nel nostro caso 

 l'equazione indefinita diviene: 



\__d_ ¥ __ 

 x dx\/\-\- y n 



cioè: 



ly' 



(1) log.? — log K = 



ri + s/' 2 



dove — log K è una costante arbitraria positiva o negativa. Di qui: 



y = l — — dx -}- C 



e rimarranno da fissare le tre costanti K , X , C ; cerchiamone il significato 

 e facciamo qualche altra considerazione. Per brevità, chiamiamo verticali le 

 parallele all'asse del toro. 



L'espressione dopo il segno integrale si annulla solamente per x = K 

 e perciò K è l'unica ascissa per cui la tangente al profilo sia orizzontale; 

 è positiva come ogni x . La medesima espressione diviene infinita per le 

 ascisse Ke+ X , Ke~ x e solo per esse ; ivi la tangente è verticale e detta a la 



