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Sviluppando l'esponenziale secondo le potenze di 10 — u\ si ottiene: 



(3) ^y^^jyu+xjyT^du + ^jy/T^urciu + ..- 



di cui per semplicità non eseguiamo gli integrali che possono trovarsi facil- 

 cilmente, sicché y resta sviluppato in serie. 



È forse preferibile e più rapido costruire graficamente la curva con 

 metodi approssimati analoghi alla integrazione grafica. Segnata la curva lo- 

 garitmica coll'aiuto di tavole a 3 o 4 decimali (sufficienti) dei logaritmi 

 naturali, si tiri l'orizzontale che equidista dai punti di tale curva che hanno 

 come ascisse a e b, poi si segni sull'orlo di una squadretta da disegno, fra 

 due tacche, tale equidistanza. 



Se adesso per una qualunque ascissa x appoggiamo una delle tacche 

 sul corrispondente punto della logaritmica e l'altra sulla orizzontale anzidetta 

 avremo la direzione dell'elemento di curva. 



Infatti, l'equazione (2) dice: 



y' = tang are sen 



i 00 



logg 



1 a 

 l0g K 



Ciò posto, basta dividere, il piano in tante striscie di larghezza suffi- 

 cientemente piccola Jx parallele all'asse delle ordinate, numerarle e tirare 

 le loro ordinate medie. Queste colla costruzione sopra indicata ci daranno, 

 con approssimazione sufficiente, la direzione dell'elemento di curva compreso 

 nella striscia. Si tirerà allora entro la prima striscia la parallela al primo 

 elemento e dall'estremo di questo la parallela entro la seconda striscia al 

 secondo elemento, ecc. Si otterrà così la curva cercata; gioverà cominciare 

 dal mezzo. 



Ad alcuni mm. di distanza dalle due tangenti verticali il tracciato 

 perde la sufficiente precisione e pertanto il punto A d'incontro colla verti- 

 cale più interna, non può determinarsi con sufficiente esattezza. Lo otterremo 

 calcolando la differenza y K — C tra la sua ordinata C e quella y K del ver- 

 tice della curva. 



La (3) quando x varia da a = 1 a K = \lb acquista per limiti degli 



integrali 0 ed 1 sicché (non considerando per un momento i fattori — \ 



ha integrali definiti di tre specie: Il primo che vale 1. Quelli di posto pari 

 cioè contenenti potenze veramente fratte di (1 — u 2 ) e pei quali vale la 

 formola : 



l « i 8 5 . 7 ... (n — 2) n n ,. 

 /, . 2W,. 1 • _ ' — v '- , n dispari. 



0 ~ u r du — 2.4.6.8... (w— !)(«+!) 2 



