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riabili x ed y per la quale, indipendentemente da x,y,p,q, si abbia 



sempre 



K (x , y) dx 



<M 



dove M è un numero fisso. 



2°. La funzione K(x , y) per ogni valore finito di x sia semplice- 

 mente continua rispetto ad y. 



Delle quali condizioni, la l a permette di dimostrare la convergenza 

 uniforme della funzione ¥(y) per ogni intervallo finito di valori y, e la 2 a 

 serve a stabilire che l'integrale 



j ^ y>{x) K(# , y) dx 



è funzione continua di y. 



Da queste deduzioni consegue la continuità dell'integrale ¥(y). 



Una osservazione del prof. Arzelà della E. Università di Bologna, mi 

 fa tornare sull'argomento per rimuovere una obbiezione a cui la deduzione 

 della continuità dell'integrale 



'(p{x) K(x , y) dx 



da quella della funzione li(x , y) può dar luogo. 



Infatti, questa deduzione è fondata sulla disuguaglianza 



\K(x,y+ h) — K(x,y)\<to 



che, per un valore di co prefissato, si verifica per ogni punto (x , y) quando 

 h è abbastanza piccolo. Ma è da notare che, quando si consideri un valore 

 fisso di y, il limite superiore dei valori assoluti di h per cui la disugua- 

 glianza precedente è valida, è funzione di x, e potrebbe darsi che questa 

 funzione di x, senza esser mai effettivamente zero, avesse per limite infe- 

 riore lo zero, nel qual caso non esisterebbe uno stesso valore di diverso 

 da zero, che valesse per ogni punto x dell'intervallo c — y. 



Ma a questo inconveniente si può facilmente riparare supponendo che 

 esista un valore di h fisso, che valga per ogni punto x; ma questa condi- 

 zione equivale a supporre la convergenza uniforme della funzione K(x ,y -\-h) 

 verso l'altra funzione X(x , y) ; e questa è una condizione ben nota ( 1 ). 



Giova però notare che, anche lasciando inalterate le condizioni da me 

 poste nella Nota citata, la continuità dell' integrale 



cp(x) K(x , y) dx 



(') V. Arzelà, Calcolo infinitesimale, voi., 1° fase, pag. 37. 



Rendiconti. 1909, Voi. XVIII. 1° Sem. 66 



