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Matematica. — Sulle equazioni fra matrici AX=XB ,X M =A. 

 Nota del dott. Francesco Oecioni, presentata dal Socio U. Dini. 



In una Memoria che sarà pubblicata negli Annali della R. Scuola Nor- 

 male Superiore di Pisa, ho studiato alcune operazioni algebriche sulle ma- 

 trici; nella presente Nota mi permetto di esporre i principali risultati che 

 ivi ho ottenuti per le due equazioni fra matrici AX = XB , X m = A ( 1 ). 



1. Una matrice quadrata A, appartenente ad un determinato campo di 

 razionalità R, può ridursi, operando nel campo R, ad una certa forma nor- 

 male, o canonica, A 0 , perfettamente definita dai divisori elementari della 

 matrice A — Ew nel campo R medesimo ( 2 ). Con un metodo completamente 

 analogo, considerando ancora dei sistemi di congruenze lineari i cui moduli 

 sono i divisori elementari di B 0 — Eco , si risolve (senza impone la con- 

 dizione che il determinante |X| sia diverso da 0) l'equazione AX = XB 0 , 

 dove B 0 è una matrice normale in R. Si può quindi risolvere anche l'equa- 

 zione AX = XB (dove A e B sono due matrici quadrate, eventualmente di 

 ordine diverso), riducendo prima B alla forma normale B 0 . Si ottengono 

 così i teoremi: 



a) Condizione necessaria e sufficiente -perchè l 'equazione AX = XB 

 ammetta soluzioni non nulle è che i due determinanti |A — E<o|,|B — Eco| 

 ammettano dei divisori comuni ( 3 ). Si sa inoltre determinare razional- 

 mente la soluzione generale dell'equazione stessa. 



b) Siano Pj , P 2 , ... , P v % divisori primi {nel campo R) comuni 

 ad |A — E«| , |B — Efti| , e P^.p (i = \ , 2 , ... , v ; q = 1 , 2 , ... ,pj) i 

 corrispondenti divisori elementari di A — E<w , P^ {i = 1 , 2 * ... v ; 

 e = 1 , 2 , ... qi) quelli di B — E». Indicando con gì il grado di P ; e 



i 1 ) Per le definizioni e le notazioni relative al calcolo con le matrici, o con le 

 forme bilineari, si veda, ad es., Muth, Theorie und Anwendung der Elementartheiler, 

 Leipzig, Teubner, 1899, pp. 20 e seg.; e Rronecker, Vorlesungen uber Determinanten- 

 theorie, Leipzig, Teubner, 1903. 



( 3 ) V. 0. Nicoletti, Sulla riduzione a forma canonica di una sostituzione lineare 

 omogenea e di un fascio di forme bilineari, Annali di Matematica pura ed applicata, 

 serie III, t. XIV (1908), pp. 265-325, cap. I. 



( 3 ) Che la condizione detta sia necessaria è dimostrato (razionalmente) da Frobe- 

 nius, Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen, Giornale di Creile, voi. LXXXIV 

 (1878), pp. 1-63, pag. 28; la sufficienza è dimostrata da Sylvester, Sur Véquation en ma- 

 trices px = xq, Comptes rendus de TAcadémie de Paris, 1884, 2° sem., pp. 67-70, 115- 

 116, determinandone, però in modo irrazionale, alcune soluzioni particolari. 



