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con Yia<j il più piccolo dei due numeri a, !? , /?i j(r , la soluzione generale 

 della AX = XB dipende, in modo lineare ed omogeneo , da 



m pi gi_ 



n = y_i T p y a gì Yi?à 



parametri arbitrari. 



c) Il numero N può anche scriversi N = 2ó$ 9 , dove 3^ è il grado 

 del m. c. d. del g esimo divisore elementare completo di A — Eco e del a esim ° 

 di B — E». 



d) Perchè esistano soluzioni X con ;X|4= 0, è necessario e sufficiente 

 che le due matrici A , B siano simili, e si ha in questo caso 



(1) N = rc 0 -f 2(rc, -\-n 2 -\ \-n n ) = 



= 2.i 9i( a n + 3a i2 + 5a i3 -j j- (2jp t — 1) a ipi ) , 



i 



dove è il grado del m. c. d. dei minori di ordine n — r di A — Eco 

 (o di B — Ew). 



2. Facendo in particolare B = A, si ottiene una risoluzione razionale 

 del problema di determinare tutte le matrici permutabili con una matrice 

 assegnata A . Fra queste matrici vi sono gli aggregati lineari di potenze 

 di A; ricordando il teorema (') per il quale il numero delle potenze linear- 

 mente indipendenti di una matrice A è dato, con le notazioni precedenti, 

 da </! a u -j- #2 a n -j- ■•• ~h g m ^mi (dove m è il numero dei divisori distinti 

 di |A — E»]., primi in R), e confrontando con la (1), si trova che: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè ogni matrice permutabile 

 con A sia un aggregato lineare di potenze di A, è che ad ogni divisore 

 primo di [A — Eco[ corrisponda un solo divisore elementare della matrice 

 A — Eco , o, ciò che è lo stesso, che i minori di ordine n — 1 di A — Eco 

 abbiano come m. c. d. l'unità. 



3. L'equazione AX = XB può risolversi anche riducendo dapprima A,B 

 rispettivamente alle loro forme normali A 0 , B 0 (in B.), e riportandosi così 

 all'equazione A 0 Y = YB 0 . Per la forma speciale che hanno le A 0 ,B 0 , la 

 soluzione Y di questa equazione si determina facilmente, e se ne trae per 

 induzione il teorema: 



Mantenendo tutte le notazioni del n. 1, le caratteristiche che la so- 

 luzione generale della AX = XB può assumere, quando le costanti arbi- 



C) Per la dimostrazione razionale di questo teorema v. Frobeiiius, Weber vertausck- 

 bare Matrizen, Sitzungsberichte der K. Preuss. Akad. der Wiss. zu Berlin, 1896, XXVI, 

 pp. 601-614, p. 606. 



