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trarie variano comunque nel campo R, sono date dai numeri della forma 

 r = l l9l -{-l 2 g 2 -\ 1- U gs (h = 0 , 1 , ... , Yui + + •■■)• In partico- 

 lare la massima caratteristica delle soluzioni della AX = XB è data da 



Zi (Ytu + y«2 + •••) gt = in 4- <J 22 + <? 33 + ■•■ 



4. I risultati precedenti si semplificano nel caso che i divisori P* siano 

 lineari : quindi, in particolare, nel campo di razionalità di tutti i numeri 

 reali e complessi. Qui noteremo solo che in questo campo esistono soluzioni 

 della AX = XB aventi una qualunque caratteristica r<_ó n -\- c? 2 o-f <? 33 + - 



Dalle proprietà trovate per la AX = XB, si deducono poi facilmente 

 alcuni teoremi sulle forme bilineari e sostituzioni lineari, in parte e con 

 meno precisione già noti, che lo spazio non ci permette di enunciare. 



5. Alla equazione AX = XB può ridursi il sistema AX = TA! , 

 BX = YBi , nel quale supponiamo |B| 4= 0 , | B x ] 4= 0 ; si vede subito in- 

 fatti che la soluzione generale di questo sistema si deduce mediante le for- 

 mule X = ZB X , Y = BZ dalla soluzione generale dell'equazione B _1 AZ = 

 = ZAjBr 1 . Si ottiene di qui in particolare il teorema di Weierstrass sul- 

 l'equivalenza di due fasci di forme bilineari (v. Nicoletti, Mem. cit.). 



6. Consideriamo ora l'equazione 



(2) X m = A, 



dove A è una matrice quadrata di ordine n ( 1 ). Sia X una soluzione della (2) 

 appartenente ad un campo R, che contiene A, ed X 0 la forma normale 

 della X (in R); sarà: 



(3) X = P-'Xo P , 



e P _1 X™ P = A , onde X™ ed A saranno simili. Il risultato è evidentemente 

 invertibile; si ha così il teorema: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè, in un campo R che con- 

 tiene la A , la (2) ammetta soluzioni, è che il determinante |A — Ew m | 

 abbia in R un divisore di grado n, i cui fattori primi uguali o distinti 

 possano aggrupparsi in un certo modo Qf» , Q| 3 , ... , Q£* , in guisa che la 

 potenza m esma della matrice X 0 di forma normale, che ha questi divisori 

 elementari, sia simile ad A. 



Dicendo che due matrici simili appartengono alla stessa classe, vediamo 

 che le soluzioni della (2) si distribuiscono in un numero finito di classi; 



O) Questa equazione è stata studiata da Frobenius (v. Muth, op. cit., pp. 37-40, ove 

 cita Frobenius) per il caso |A|=j=0; egli ne determina un numero finito di soluzioni che 

 si esprimono come aggregati lineari di potenze di A. Da ciò che dimostreremo al n. 7 

 risulta poi che esse sono le sole che godano di questa proprietà. Si vedano anche vari 

 lavori di Sylvester nei Comptes rendus, 1882, 1° sem., e 1884, 2° sem. 



