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le matrici normali, in R , delle varie elassi si determinano come risulta dal 

 teorema enunciato; la soluzione generale di ogni classe è data dalla (3), 

 dove X 0 è la matrice normale della classe, e P è la soluzione generale 

 dell'equazione P- 1 X?*P = A, e conterrà quindi, di solito, delle costanti 

 arbitrarie. 



7. In particolare, nel campo di razionalità di tutti i numeri reali e 

 complessi è facile determinare i divisori elementari di X n 0 l — Ew , noti 

 quelli di X 0 — Ew ; e dal risultato precedente, o anche direttamente, si 

 ottiene che: 



a) Condizione necessaria e sufficiente -perchè la (2) sia, nel campo 

 totale, risolubile, è che gli esponenti dei divisori elementari della matrice 

 A — Ew , relativi al divisore (o , si possano disporre, prescindendo even- 

 tualmente da alcuni uguali all'unità, in gruppi di m ciascuno, in guisa 

 che in ogni gruppo si abbiano al massimo due soli esponenti distinti, i 

 quali differiscano di una unità. 



b) Siano H , Hi i primi due numeri di Predella (') per la matrice 

 A E» relativi al divisore co; le caratteristiche delle soluzioni (sup- 

 poste esistenti) della X m = A sono allora date dai numeri: 



n — H -j- (m — 1) 



"H, + m — 1 



m 



] +1 ,...,„-[H±^i], 



indicando in generale con [a] il massimo intero contenuto in a. 



8. Se Pj è una soluzione particolare della P-'X? 1 P = A , la soluzione 

 generale di essa è data da P = VP, , essendo V la soluzione generale della 



(4) V- 1 X^V = Xf; 



di più, a due soluzioni Y, , V 2 della (4) corrisponde, per la (3), una medesima 

 matrice X , allora e solo allora che sia V 2 = JJY 1 , essendo U una soluzione 

 dell'equazione 



(5) U- 1 X 0 U = X 0 . 



Da queste osservazioni si ha il teorema: 



Una classe di soluzioni della X m = A, o contiene infinite soluzioni o 

 ne contiene una sola-, una tale soluzione si dirà singolare; queste soluzioni 

 sono quelle per le quali le matrici permutabili con la corrispondente ma- 

 trice normale X 0 , sono quelle stesse permutabili con XJ 1 . 



(*) Cfr. ad es. Bertini, Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, Pisa, 

 Spoerri, 1907, pag. 99. 



