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Il confronto fra il numero delle costanti arbitrarie della V e quelle 

 della U mostra poi che: Perchè esistano (nel campo totale di razionalità) 

 soluzioni singolari della X m = A, è necessario e sufficiente che sia |A|=}= 0; 

 se fi è il numero delle radici distinte di | A - — Eco | = 0 , le dette soluzioni 

 sono W2. u -, e sono quelle determinate dal Frobenius (V. n. 6). 



Queste soluzioni singolari si possono poi caratterizzare in altro modo 

 mediante il teorema seguente : Le soluzioni singolari della X" 1 — A sono 

 tutte e sole quelle che possono esprimersi come aggregati lineari di po- 

 tenze di A. Basta perciò osservare che ambedue le condizioni che la solu- 

 zione sia singolare e che sia un aggregato di potenze di A , equivalgono alla 

 condizione che X 0 sia esprimibile come aggregato lineare di potenze di X™ . 



Si ottiene in particolare (dimostrato però in modo irrazionale) il teo- 

 rema : Perchè l'equazione X m == A ammetta un numero finito di soluzioni,, 

 è necessario e sufficiente che ad ogni divisore primo di |A — E«| corri- 

 sponda un solo divisore elementare di A — E&>; tutte le soluzioni sono 

 in tal caso aggregati di potenze di A. Questo fatto si presenta dunque 

 (V. n. 2) insieme agli altri due fatti che la A abbia il numero massimo 

 di potenze linearmente indipendenti, e che ogni matrice permutabile con A 

 sia un aggregato di potenze di A. 



9. Da ciò che abbiamo detto al n. precedente segue che non tutte le 



costanti che entrano nella matrice P sono essenziali nell'espressione (3) 



della X ; vogliamo ora esprimere (razionalmente) la X per mezzo delle sole 



costanti essenziali. Sia perciò Ui , U 2 , ... , U ft un sistema completo di soluzioni 



linearmente indipendenti dell'equazione (5); un sistema analogo per la (4) 



si potrà allora rappresentare con Ui , U 2 , ••• , U ft , Y y , V 2 , ... , Y h , onde la più 



•ti - k Ri- 

 generale matrice V sarà del tipo ]T, X r U r -j- y s (i s V s . Una discussione al- 



'6. i r ti) 



quanto minuziosa conduce (con procedimenti razionali) al teorema: 



La soluzione generale della X m = A , di una classe determinata, può 

 scriversi sotto la forma 



x = | (m + £ x s v1"p i |" , x„|(ae+ x s p x j , 



nella quale gli h rapporti X:X l :...:X h sono h parametri essenziali. 



Per ottenere tutte le soluzioni si debbono però, eseguiti i calcoli, far 

 tendere comunque le X , X s ai valori limiti che annullano il determinante 

 |AE + ^ S V S |. 



Il massimo valore della differenza h dà F infinità delle soluzioni della 

 X m = A ; si trova così che : L'infinità delle soluzioni della X™ = A è 

 data da 



2 («i H h n m - x -j- Km+i + ••" + %»n-l + ^m+i H — ) j 



essendo n r il grado del m. c. d. dei minori di ordini n — r di A — Ew. 



