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Se' u(x) e v{x) sono due funzioni di x, tali da verificare questa relazione, 

 allora il rapporto y(x)=~^ verificherà la (1). 



Ora la (2) è certamente verificata quando valgano le due equazioni 



(3) . . , u = bu -j- cv 



(4) —j)' = au . 



Per ridurci all'equazione di Volterra, noi possiamo scegliere, dopo ciò, 

 fra due vie. 



In un primo procedimento, noi aggreghiamo alla (3) ed alla (4) la se- 

 guente altra equazione: 



(5) — v" = a'u + au', 



dedotta dalla (4) per derivazione. Eliminiamo u ed v! fra (3), (4) e (5). 

 Risulta 



(6) v " — Lr\- C Av'-\-acv==0. 



Quest'equazione, lineare, omogenea, del second'ordine, si può. in casi 

 non infrequenti, ridurre a un numero finito di quadrature, ovvero, in taluni 

 altri casi, a classici sviluppi. In tutti i casi, peraltro, essa si può ridurre 

 all'equazione integrale del tipo di Volterra, con diversi metodi, alcuni dei 

 quali semplicissimi. La presenza di due costanti arbitrarie nell'integrale 

 generale della (6), non escluderà che sia una sola la costante arbitraria es- 

 senziale che si presenta nell'integrale generale della (1). 



Più breve suole riuscire un secondo metodo che ora indicheremo. 



Integrando la (3), noi otteniamo 



u{x)—u{x,)= p*(?)«(?)rf?+ nV(jo v{Ì)m. 



E se applichiamo al secondo integrale, che figura in questa formula, la re- 

 gola d' integrazione per parti, e poniamo 



C(x)=\ c(£) dì , 



allora noi possiamo scrivere 



t{x) — u{x 0 ) = )b{ì) u{§) dì + G(x) v(x) — ("*<?(£) v\ì) dì 



Nel secondo di questi due integrali figura — v'(ì), che possiamo, per la (4), 

 sostituire con a(ì) u(ì). Ciò facendo, ricaviamo l'equazione 



(7) u{x) = u(x 0 ) + C(x) m + P W) + a{ì) C(f)] u(ì) dì . 



•Jx 0 



