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Quest'equazione contiene ancora v(x) ; ma, integrando la (4), ce ne possiamo 

 liberare, perchè otteniamo l'espressione 



v(x) = y(cco) + ) a{§) u(g) d£ , 



la quale, sostituita in (7), ci permette di scrivere l'equazione di Volterra 



u{x) = u(x 0 ) + C(x) v(x 3 ) + f" j a(£) lC(x) + C(£)] + b{§) [ dì . 



Le due costanti u(x 0 ) , v(x 0 ) , che qui figurano, si presenteranno nella 



nix) 



soluzione u(x) , ma anche in v(x) ; dunque nel rapporto y(x) = -p— r si 

 presenterà una sola costante arbitraria essenziale. 



Matematica. — Sopra una proprietà caratteristica delle fun- 

 zioni armoniche. Nota di Leonida Tonelli, presentata dal Socio 



S. PlNCHERLE. 



1. In una Nota (*), che porta lo stesso titolo della presente, il profes- 

 sore E. Levi ha dimostrato che « una funzione u(xy) limitata ed integrabile 

 linearmente su ogni circonferenza e superficialmente, che in ogni punto abbia 

 come valore la media dei valori che essa ha su una circonferenza di centro 

 quel punto, ha necessariamente le derivate dei vari ordini, ed è armonica ». 

 Mantenendo, poi, ferme le altre condizioni, ha sostituito quella dell' integra- 

 bilità superficiale con altra meno restrittiva. Si può osservare che, nell' ipo- 

 tesi dell'integrabilità superficiale della u(xy), si possono togliere le condi- 

 zioni di essere limitata ed integrabile linearmente su ogni circonferenza. Si 

 può cioè dimostrare che una funzione u(x,y) integrabile superficialmente 

 (nel senso di Lebesgue) ed avente in ogni punto come valore la media 

 dei valori che essa ha su una circonferenza di centro quel punto — qua- 

 lora su tale circonferenza essa risulti linearmente integrabile — è neces- 

 sariamente una funzione armonica. 



Indicando con C il campo in cui è data la u(x , y), e con C K quello 

 interno a C e tale che i suoi punti distino dal contorno di C per lo meno 

 di R , consideriamo l' integrale 



357 )C u{x'y')dx'dy', 

 dove r^ix , y) indica il cerchio di centro (xy) e raggio R . Tale integrale 



Q) Questi Rendiconti. Seduta 3 gemi. 1909. 



