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è evidentemente una funzione del punto (x , y). Passando dalle coordinate 

 cartesiane alle polari, si ha 



f f u{x\y')dxdy = 



= — jrr f f u(x 4- q cos , y + ? sen q dq d&, 



71 SX JJr R (xy) 



e quindi (') 



-4r ff u{x' ,y')dx'dy' = 



Ricorderemo che, per l'esistenza dell'integrale superficiale, l'integrale 

 lineare rispetto a # può mancare solo per un insieme di valori di q di 

 misura nulla, e che questa mancanza non pregiudica nulla, perchè nell'in- 

 tegrazione può sempre farsi astrazione da un insieme di misura nulla. Per i 

 valori di q, per i quali V integrale lineare rispetto a & esiste, è, per ipotesi, 



i r 277 



u{xy) = «r- u ( x + ? cos & ' y + ? sen ®> d ® • 

 Si ha, perciò, 



e quindi 



■ly f f u(x'y')dx'dy' = ^£ Cqdq, 



in 2 J Jr R (.a:y) a J o 



3TXI J Jr R (.ocy) 



Siano, ora, , y) , {x x , y t ) due punti di C R . Indicando con S la loro 

 distanza, con L la lunula interna a r B (#,y) ed esterna a JT»(<»i , yO, e 

 con L: la lunula interna a r B (aJi , yi) ed esterna a r B (# , y), avremo 



«(a , y) — u{x, .•?*) — zj^T j££ M (#V) *W — SJiféM dx ' dy ' | ' 

 , y) - u(x, , yOj^z^" | ^Hx'y'^dx'dy' + J £ j wfc'y W<*y' j (*). 



Al tendere di J a zero, le aree L , Lj tendono a zero, e perciò tendono 

 a zero anche i due integrali del secondo membro della precedente uguaglianza. 



H Fubini, ó'«$t integrali multipli. Rend. Acc. dei Lincei, 1907. 

 ( 2 ) Si sa che una funzione integrabile nel senso del Lebesgue è assolutamente in- 

 tegrabile. 



