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Per vedere questo, si indichi con A un campo contenente i due cerchi 

 r R (% , y) , r B (# a , yì) e tutto interno a C. Poiché in A u{x è integra- 

 bile, preso un s piccolo a piacere, si può trovare un numero positivo M tale 

 che, indicando con G M l'insieme dei punti di A in cui è \u(x , #)|> M , il 



contributo di G M nell'integrale u(x'y' ) \ dx'dy\ ossia Jj^ \u{x'y')\ dx'dy', 



sia minore di e. Indicando con G' M la parte di G M interna ad L, si ha 



e quindi 



ff \u(x\y')\ dx'dy' < ff \u{x\ y')\ dx'dy' <s • 



dove l'area della lunula L si è indicata con la stessa lettera L. Da qui 

 risulta che al tendere a zero di ó, ossia di L, l'integrale J J \{x'y')\ dx'dy' 

 tende esso pure a zero. Analogamente dicasi per JJ^ \ u{x'y')\ dx'dy'. Dunque 



al tendere a zero di S, \u(xy) — u(x x , y x )| tende a zero: la continuità di 

 u(zy) è così dimostrata. 



Ripetendo, allora, i ragionamenti del Levi, si dimostra l'esistenza delle 

 derivate prime e seconde di u(xy) nei punti interni a C, e si verifica che 

 la u è armonica. 



2. Se per la u'x , y) si suppone la continuità, affinchè possa dirsi che 

 essa è armonica, basta — come ha osservato il prof. Volterra (') — sapere 

 che il suo valore in ogni punto è la media dei valori che assume sopra 

 una sola circonferenza avente il centro in quel punto, purché, però, si ag- 

 giunga ciò che il Volterra chiama la connessione col contorno. Si può osser- 

 vare che non è necessario supporre che il valore della u sia in ogni punto 

 la media dei valori assunti sopra una circonferenza avente il centro nel 

 punto considerato: basta che la proprietà sia verificata solo per un insieme 

 di punti J uniformemente denso (p. es., nei punti di coordinate razionali), 

 purché, in ciascun punto del campo considerato e non appartenente ad J, 

 il limite inferiore dei raggi delle circonferenze relative ai punti J sia 

 maggiore di zero. 



Infatti, preso un punto (x , y) del campo considerato e non appartenente 

 ad J, indichiamo con 



(1) (x[ , y[) , {x' 2 , y' 2 ) , ... , (x' n , y' n ) , ... 



una successione di punti di J tendente a (x , y). Essendo q[ , g' 2 , ... , q' n 



f) Volterra, Alcune osservazioni sopra proprietà atte ad individuare una funzione. 

 Kencì. Acc. Lincei, sed. 21 marzo 1909. 



liKNDICONTI. 1909, Voi. XVIII, 1° Sem. 77 



