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•3. Dalla proposizione stabilita dal Levi, risulta subito quest'altra: 



Sì abbia una successione 



u x (x , y) , u t (x , y) , ... , u n {x , y) , ... 



di funzioni armoniche in un campo C, e tutte inferiori, in modulo, ad 

 un numero finito, fisso, M. Se la successione scritta converge in tutti i 

 punii di C , la funzione limite è, in C , armonica. 



Indichiamo con u{x , y) la funzione limite detta. Preso un punto (x , y) 

 interno a C , se E è minore della minima distanza di (x , y) dal contorno 

 di 0, è 



u n (xy) = — f u„(x -f- E cos i) , y -f- E sen S) d$ , 



e quindi 



«(a^) = lim , «/) = — lim f w„(«z -f- E cos i) . y -j- E sen -5) d& . 



La , essendo funzione limite di funzioni continue, è misurabile ed 



anche integrabile (nel senso del Lebesgue), perchè dall'essere \u n (xy)\<C~M. 

 risulta pure \u{xy)\<^ M ; per un noto teorema sull'integrazione per serie ( J ) 

 si ha 



lim ( w„(a:-4-Ecos^ , ?/ + E sen d# = f u{x-\-Rcos-!> , y-{-~Rsen-9)d-d-. 

 Si conclude, perciò, che è 



u{xy) = ^ J u(x -f- E cos > ,y -\- E sen #) ^ , 



e, per il teorema del Levi, che u(x , y) è armonica. 



4. Come mi ha fatto notare il prof. Pincherle, il teorema del Levi ha, 

 per le funzioni armoniche, lo stesso ufficio del teorema di Morera per le 

 funzioni analitiche. Voglio alludere alla seguente proposizione: se f(x) è una 

 funzione di variabile complessa, univoca, finita e continua in un campo C 

 (semplicemente connesso), e tale che il suo integrale esteso ad ogni linea 

 chiusa rettificabile, sia nullo, essa f(x) è funzione analitica regolare nel 

 campo C . A proposito di questo teorema si può osservare che non è neces- 

 sario che l' integrale sia nullo per tutte le linee chiuse rettificabili ; basta 

 che lo sia per tutti i rettangoli a lati paralleli agli assi reale ed imaginario. 



Infatti, sia x un punto interno a C. Se E è minore della minima distanza 

 di Te dal contorno di C, posto x = x -j- u + iv , definiamo, nel cerchio di 

 centro x e raggio E, la funzione ¥(x) con l'eguaglianza 



£óc+u fx 

 f{t) dt + f{t) dt . 

 co ^x+u 



(*) Lebesgue, Lepons sur Vinlégration ecc. 



