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In particolare si ha il teorema che ogni curva che abbia in un tale 

 punto (s, s 2 a), comune alle due curve, una moltiplicità espressa dal sud- 

 detto numero, appartiene al loro modulo ( 1 ). 



La presente Nota che fa seguito all'altra pubblicata in questi medesimi 

 Rendiconti (voi. 18, fase. 8°, 1° semestre 1909), la quale richiameremo 

 quando occorra coli' indicazione « Nota l a » ( 2 ), dà un teorema che è l'esten- 

 sione all'iperspazio del precedente teorema del piano. 



1. Sieno F, , F 2 , ... , F r ipersuperficie di S r degli ordini », , » 2 , ... , n r 

 aventi soltanto punti comuni, e ciascuno tale punto Pi(i =1,2, ...) sia 

 -(s^ 4° — $r ] , cioè sia multiplo secondo s[ i} per F, , multiplo secondo 

 4° per F 2 , ... , multiplo secondo s ( p per F r e sia di moltiplicità d'interse- 

 zione per le r ipersuperficie, onde Z = », » 2 ... n r ( 3 ). 



i 



Consideriamo r nuove ipersuperficie d>! , d> 2 , ... , (D,, degli ordini stessi 

 », , » 2 , ... , n r delle F! , F 2 , ... , F r e che abbiano ordinatamente in uno dei 

 punti P, , ad es. P, , le stesse moltiplicità sp , sP , ••• , sp , che vi hanno 

 queste ipersuperficie, ma che però presentino in P, il caso semplice ed inol- 

 tre non abbiano comuni, fuori del punto P, , che punti semplici distinti, il 

 numero dei quali sarà quindi », n 2 ... n r — s x s 2 ...s r . Ad es., si può pren- 

 dere per <2>, una ipersuperficie costituita di un cono di ordine s', 1 ' avente il 

 vertice nel punto P, e del resto generico e di », — sP iperpiani generici ; e 

 similmente per <2> 2 , ... , 0»,. . Allora le r ipersuperficie F,* , F£ , ... , F* va- 

 riabili genericamente negli r fasci 



Fr = F, + e, 0>, = 0 , F* = F 2 + e, <D t = 0 , ... , F r * = F r + e r 4> r = 0 , 



hanno pure in P, le moltiplicità s, , s 2 , . . . , s r , presentano nel punto stesso 

 il caso semplice e si segano ulteriormente in », » 2 ... n r — s, s 2 ... s r punti 

 semplici distinti, che diremo punti Q . Ad esse possiamo quindi applicare 

 il teorema di Kònig (Nota l a , n. 4). Ciò faremo prendendo una ipersuper- 

 ficie F costituita dell' iperpiano, contato si !) -j- sp H \- sp — r-\-l volte, 



proiettante P, da un S<!1 2 generico (fisso) e di altri iperpiani proiettanti i 

 punti Q dallo stesso S<,!i 2 e da altri S<, 2 1 2 , ... , S£l 2 pure generici (fissi), in 

 base alla seguente considerazione. 



Quando s'imagina che i parametri (indipendenti) s , , s 2 , ... , s r degli r 

 fasci tendano a zero, le F,* , F 2 * , ... , F* tendono alle F( , F 2 , ... , F r ed i 



(*)• Cfr. Bertini, Rappresentazione di una forma ternaria . . . (Rend. del R. Ist. lomb. r 

 serie II, voi. 24, 1891), n. 18. 



( 2 ) In questa Nota l a si correggano due errori di scrittura: uno nel n. 3, ove vanno- 

 cambiati i segni di s», , Si 2 , ... nelle espressioni degli h sistemi lineari, ... , ed uno nel 

 n. 4, ove va soppresso il — 1 nelle espressioni di T> r {n ; n x ... n r ) , D r (s — 1 ; s t ... s r ). 



( 3 ) Cfr., ad es., l'Appendice al mio libro: Introduzione alla Geometria proiettiva 

 degli iperspazi, n. 5, cap. I. 



