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le ipersuperficie che hanno in P, , P 2 , P 3 le moltiplicità ff (1> , <x <2) , a <3> e negli 

 altri (cioè esclusi questi tre) le moltiplicità a Cù : e così di seguito. 



La nostra affermazione è quindi dimostrata per n abbastanza alto: e si 

 trova allora che è vera per qualunque valore di a ripetendo la stessa con- 

 siderazione fatta nel n. 4 (penultimo alinea) della Nota l a . 



Risulta quindi dimostrato il seguente teorema (comprendente la propo- 

 sizione del n. 1 e l'altra enunciata al principio del presente numero): 



Se r ipersuperficie , F 2 , ... , F r di S r si segano in un numero finita 

 di punii, ciascuno dei quali sia {s x s 2 ... s r a) cioè s" pl ° per Fj , s 2 pl ° per 

 F 2 , ... , s" p '° per F r e di moltiplicità d'intersezione a per le r ipersuper- 

 ficie, ogni ipersuperficie F che abbia in ciascuno tale punto la moltipli- 

 cità 



a — Si S z ... S r + Si -j- Si -j \-s r — r -\-\ 



appartiene al modulo (F, F 2 ... F r ). 



5. Si può estendere il teorema precedente, come Torelli ha fatto per il 

 teorema di Konig nel n. 4 della Nota: Sopra certe estensioni del teorema 

 di Noether A/+ B 9> (Atti della E, Acc. delle Se. di Torino, voi. 41, 1905), 

 giovandosi del medesimo lemma dimostrato nel n. 3 della stessa Nota. Si 

 osservi anzi che a questo lemma si può dare l'aspetto più generale: — Se 

 nell' S r si hanno h<r ipersuperficie Fi , F 2 , ... , F h segantisi in una 0> r _ k 

 {anche con parti multiple) ogni ipersuperficie F la quale seghi sopra un 

 S ft variabile entro un fascio generico (cioè variabile in un S* +1 generico 

 per un suo S ft _, generico) una ipersuperficie appartenente al modulo se- 

 zione del modulo (F 1 F 2 ... F fc ), appartiene a quest'ultimo modulo — . Basta 

 applicare successivamente il lemma nella forma data dal Torelli. 



Ora diciamo che una parte irriducibile della <2> r _ ft intersezione di h 

 ipersuperficie Fi , F 2 , ... , F„ , multipla rispettivamente per queste secondo 

 Si ,s 2 , ... , s h , è di moltiplicità d' intersezione a per le ipersuperficie stesse e- 

 indichiamola con (s, s 2 ... s h a) , quando un suo punto generico è tale per le 



sezioni delle Fi , F 2 F ft fatte con un S h generico per il punto stesso- 



Allora segue subito dal teorema del n. 4, in virtù del lemma suddetto, 

 quest'altro teorema: — Se h (<r) ipersuperficie , F 2 , ... , F„ di S r si 

 segano in una ® r _ h qualsiasi e ciascuna parte irriducibile di <P r _ h è- 

 («i s 2 ... s h a), ogni ipersuperficie F , che passi per ciascuna tal parte 



« — 9i s 2 ... s h -f- si + s 2 -j f- s h — h -f 1 



volte, appartiene al modulo (F t F 2 ... F h ). 



, Infatti, segando con un S ft generico, si avranno in esso le sezioni di 

 Fi , F 2 , ... , F„ aventi solo punti comuni {s x s z ... s h a). Per il teoiema del 

 n. 4, la sezione di F apparterrà al modulo di quelle sezioni e quindi, per 

 il lemma, la F apparterrà al modulo (Fj F 2 ... F h ). 



