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i numeri interi a x ,• a 2 , c x soddisfacendo alla congruenza 

 (4) (a, — 2 ai Y + Sai = 4 (mod 12 <? x ) . 



Fra queste sfere abbiamo la seguente: 



IV) 



corrispondente alla riflessione di G 0 



Ì \/ l Ò So + ^ 



essa ba per equatore (per sezione col piano il circolo circoscritto al 

 triangolo equilatero considerato. I tre piani di riflessione I) li) III) e la 

 sfera IV) racchiudono un poliedro 77, che è la porzione del prisma esterno 



TX 



alla sfera IV), ed è appunto un tetraedro regolare con diedri =— e coi 

 quattro Vertici 



che nella metrica non-euclidea sono tutti situati a distanza infinita. 



3. Proveremo ora che il tetraedro regolare 77 è il poliedro fondamentale 

 di G 0 dimostrando successivamente queste due proprietà: 



l a ) Nessuna sfera di riflessione di G 0 attraversa il tetraedro 77. 



2 a ) Nessuna sostituzione di G 0 , diversa dall'identità, trasforma 77 

 in sè medesimo. 



Per dimostrare la prima asserzione cominciamo dall'osservare che, il 



TV 



tetraedro 77 avendo diedri = — , nessuna sfera (piano) di riflessione di G 0 



O 



può penetrare in 77 attraverso uno spigolo, poiché taglierebbe allora le facce 



concorrenti in quello spigolo sotto un angolo < C~o- Dunque una sfera di 



riflessione di G 0 che attraversasse 77, dovrebbe contenere nel suo interno 

 almeno uno dei tre vertici Vi , V 2 , V 3 . Vediamo se ciò è possibile. 



Secondo le (3), (4) l'equazione di una sfera di riflessione di G 0 si può 

 scrivere 



V, = (0,0,0) 



V 2 = (1,0,0) 

 V 4 = (0,0,o>), 



(5) 



3c 2 ' 



