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Ora, perchè la sfera (5) contenga nel suo interno Vi o V 2 , o V 3 , do- 

 vranno rispettivamente verificarsi le diseguaglianze 



Ma poiché, a causa della (7), b o 'òc — b non possono essere nulli e sono 

 quindi uguali a ±1, ne seguirebbe rispettivamente 



a = 0, o a = 2c, o a = c, 



ciò che è incompatibile colla congruenza (6). La prima proprietà è dunque 

 stabilita. 



Venendo alla seconda proprietà osserviamo che, il tetraedro JI essendo 

 regolare, esso ammette un gruppo tetraedrale ampliato di 24 movimenti 

 in sè, e cioè 12 di l a e 12 di 2 a specie; ma, come ora si vedrà, nessuno 

 di essi, esclusa l' identità, appartiene G 0 • 



ce z V * $ 



Per le sostituzioni z = — r 1 -^ corrispondenti ai 12 movimenti del 



gruppo tetraedrale di 77, scrivendole sotto forma unimodulare, troviamo 

 subito 



dove abbiamo scritto nella prima riga le 4 costituenti il sottogruppo inva- 

 riante quadrinomio (Vierergruppe). Nessuna di queste, salvo la prima (l' iden- 

 tità), appartiene a G . 



Combinando queste 12 sostituzioni colla riflessione sul piano £ = f 



che riproduce IT, abbiamo le 12 sostituzioni di 2 a specie che, avendo de- 

 terminante = — 1, non appartengono a G 0 . 



(«) 



G») 

 (r) 



Sa 2 + b* < 4 , per V, 

 3(2c — df + b* < 4 , per V, 

 3(c — aY + (& — bf < 4 , per V 3 . 



3' = — Zo + 1 , 



